Phần 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Trong mỗi câu hỏi, thí sinh viết câu trả lời/ đáp án vào bài làm mà không cần trình bày lời giải chi tiết.

Tòa nhà Landmart 81 là một tòa nhà cao tầng ngay bên bờ sông Sài Gòn tại TP. Hồ Chí Minh. Tòa nhà này có 81 tầng, cao nhất Đông Nam Á (năm 2018). Ý tưởng thiết kế của The Landmark 81 được lấy cảm hứng từ những bó tre truyền thống tượng trưng cho sức mạnh và sự đoàn kết trong văn hóa Việt Nam. Tại một thời điểm tia sáng mặt trời tạo với mặt đất một góc là \(63^\circ \) (góc B) thì người ta đo được bóng của tòa nhà trên mặt đất dài khoảng \[235{\rm{ m}}\] (độ dài \[AB).\] Hãy ước tính chiều cao của tòa nhà này (đoạn thẳng \[AH\]) (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Chọn C

Gọi \(A,\,\,D\) là vị trí của người đứng;

\(C,\,\,D\) là vị trí bức tường phía trên và dưới cùng;

\[H\] là hình chiếu của \[A\] lên \[BC.\]

Tứ giác \[ADBH\] là hình chữ nhật nên \(BD = AH = 1,5\;\,{\rm{m}}\);

\[BH = AD = 1,2\;\,{\rm{m}}{\rm{.}}\]

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \(ABD\) vuông tại \(D,\) ta có:

\(A{B^2} = A{D^2} + B{D^2} = 1,{2^2} + 1,{5^2} = 3,69\).

Suy ra \(AB = \sqrt {3,69}  = 1,92\;\,({\rm{m}}).\)

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \[A,\] đường cao \[AH,\] ta có:

\(A{B^2} = BH \cdot BC\) hay \(BC = \frac{{A{B^2}}}{{BH}} = \frac{{3,69}}{{1,2}} \approx 3\;\,\,({\rm{m}})\).

Vậy chiều cao của bức tường là \[3{\rm{ m}}.\]

a) Đúng. Áp dụng định lý tổng ba góc trong một tam giác, ta có:

\[\widehat {BAC} = {180^{\rm{o}}} - \left( {\widehat {ABC} + \widehat {ACB}} \right) = 180^\circ  - \left( {75^\circ  + 65^\circ } \right) = 40^\circ .\]

b) Đúng. Vì \[\widehat {ABC} = 75^\circ \,;\,\,\widehat {ACB} = 65^\circ \] và \[\widehat {BAC} = 40^\circ \] nên \[\Delta ABC\] nhọn.

c) Đúng. Xét tam giác nhọn \[ABC\], kẻ các đường cao \[BD,\,\,CE\] thì các đường cao này nằm trong tam giác (như hình vẽ) có \[a = BC;\,\,b = AC;\,\,c = AB\].

Xét \[\Delta ADB\] vuông tại \[D\], áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác vuông ta có:

\[BD = AB \cdot \sin \widehat {BAC} = c \cdot \sin A.\]      \[\left( 1 \right)\]

Xét \[\Delta CDB\] vuông tại \[D\], áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác vuông ta có:

\[BD = BC \cdot \sin \widehat {ACB} = a \cdot \sin C.\]      \[\left( 2 \right)\]

Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] suy ra \[c \cdot \sin A = a \cdot \,\sin C\] hay \[\frac{a}{{\sin A}} = \frac{c}{{\sin C}}.\]

Chứng minh tương tự, ta được \[b \cdot \sin A = a \cdot \sin B\] hay \[\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}}.\]

Do đó \[\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\] hay \[\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}\].

d) Sai. Từ câu c, ta có: \[\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}\].

Suy ra \[\frac{{1225}}{{\sin 40^\circ }} = \frac{{AC}}{{\sin 75^\circ }}\] hay \[AC = \frac{{1\,\,225 \cdot \sin 75^\circ }}{{\sin 40^\circ }} \approx 1841\,\,{\rm{(m)}}{\rm{.}}\]

Vậy khoảng cách \[AC\] là \[1841{\rm{ m}}\].