Thép không gỉ Ferritic là họ thép hợp kim có chứa từ 12 đến 27 phần trăm crôm. Một nhà máy luyện thép hiện có sẵn một lượng hợp kim thép chứa \[10\% \] crôm và một lượng hợp kim thép chứa \[30\% \] crôm. Giả sử trong quá trình luyện thép các nguyên liệu không bị hao hụt.

1) Tính khối lượng hợp kim thép mỗi loại từ hai loại thép trên dùng để luyện được 500 tấn thép chứa \[16\% \] crôm.

2) Nhà máy dự định luyện ra loại thép không gỉ Ferritic từ 100 tấn thép chứa \[10\% \] crôm và  \[x\] tấn thép chứa \[30\% \] crôm. Hỏi \[x\] nằm trong khoảng nào?

Vậy \[A,\,\,E,\,\,F,\,\,H\] cùng thuộc đường trong đường kính \[AH\] hay tứ giác \[AEHF\] nội tiếp.

2) Ta có  (tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét BDK và BCD có \[\widehat {CBD}\] chung; \[\widehat {BKD} = \;\widehat {BDC}\,\,\left( { = \;90^\circ } \right)\]

Do đó  

Suy ra \(\frac{{BD}}{{BC}} = \frac{{BK}}{{BD}}\) hay \[B{D^2} = BK \cdot BC\].

Do  nên \[\widehat {BDH} = \;\widehat {BCD}\] (hai góc tương ứng).

Mà \[\widehat {BCD} = \widehat {BFD}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[BD)\]

Nên \[\widehat {BDH} = \widehat {BFD}\] (đpcm)

Do \[\Delta AFB\] vuông tại \[F\] nên \[\widehat {ABF} = 90^\circ  - \widehat {BAF} = 90^\circ  - 60^\circ  = 30^\circ \].

Mà  nên \[\widehat {OEF} = 2 \cdot 30^\circ  = 60^\circ .\]

Xét \[\Delta OEF\] cân tại \[O\] (do \[OE = OF\]) có \[\widehat {EOF} = 60^\circ \] nên \[\Delta OEF\] là tam giác đều.

Suy ra \[EF = OE = OF = \frac{1}{2}BC = 3\,\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\]

Xét \[\Delta ABC\] có đường cao \[CE\] và \[BF\] cắt nhau tại \[H\] nên \[H\] là trực tâm.

Suy ra \[AH \bot BC\]

Xét \[\Delta AHF\] và \[\widehat {BHK}\] có \[\widehat {AHF} = \;\widehat {BHK}\] (đối đỉnh) và \[\widehat {AFH} = \;\widehat {BKH}\,\,\left( { = \;90^\circ } \right)\]

Suy ra \[\widehat {HAF} = \widehat {HBK}\] hay \[\widehat {HAF} = \widehat {FBC}\]

Kết hợp \[\widehat {AFH} = \;\widehat {BFC}\,\,\left( { = \;90^\circ } \right)\] suy ra

Suy ra \(\frac{{AH}}{{BC}} = \frac{{AF}}{{BF}} = \cot \widehat {FAB} = \cot 60^\circ  = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\) .

Suy ra \(AH = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \cdot BC = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \cdot 6 = 2\sqrt 3 .\)

Xét tứ giác \[AEHF\] nội tiếp đường tròn đường kính \[AH\] nên bán kính bằng \(\frac{{2\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 .\)

Vậy \[EF = 3\,\,{\rm{cm}}\] và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \[AEF\] là \(\sqrt 3 .\)