Cho tam giác \[ABC\] có ba góc nhọn \[\left( {AB\; < AC} \right).\] Đường tròn tâm \[O\] đường kính \[BC\] cắt hai cạnh \[AB,\,\,\;AC\] lần lượt tại \[E\] và \[F\] \[(E\] khác \[B,\,\,F\] khác \[C).\] Các đoạn thẳng \[BF\] và \[CE\] cắt nhau tại \[H,\] tia \[AH\] cắt \[BC\] tại \[K.\]

1) Chứng minh bốn điểm \(\widehat {BEC} = \widehat {BFC} = 90^\circ \) từ đó suy ra tứ giác \[AEHF\] nội tiếp.

2) Gọi \[D\]  là giao điểm của \[AH\] và \[\left( O \right)\] \[(D\] nằm giữa \[A\] và \[H),\] chứng minh \[B{D^2}\; = BK \cdot BC\] và \(\widehat {BDH} = \widehat {BFD}.\)

3) Trong trường hợp \(\widehat {BAC} = 60^\circ \) và \(BC = 6\,\,{\rm{cm}},\)tính độ dài đoạn thẳng \[EF\] và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \[AEF.\]

1) Bán kính của phần ruột quả dưa hấu là: \(\frac{{25 - 2 \cdot 2}}{2} = 10,5\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Thể tích phần ruột của quả dưa hấu là: \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi  \cdot {10,5^3} \approx 4\,\,849,05\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).\)

Vậy thể tích phần ruột của quả dưa hấu khoảng \(4\,\,849,05\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}.\)

2) Thể tích nước ép dưa hấu là: \[{V_n} = \;80\%  \cdot 4\,\,849,05 = \;3\,\,879,24\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\]

Thể tích của phần đựng nước ly thuỷ tinh là:

\[{V_l} = 70\%  \cdot \pi {R^2}h = 70\%  \cdot \pi  \cdot {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} \cdot 10 \approx 137,44\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\]

Ta có \[\frac{{{V_n}}}{{{V_l}}} \approx \frac{{\;3\,\,879,24}}{{137,44}} \approx 28,22\].

Do đó cần ít nhất 29 cái ly để đựng hết nước ép của quả dưa hấu.

1) Gọi \[a\] là số tấn hợp kim thép chứa \[10\% \] crom cần dùng \[\left( {a > 0} \right).\]

Khi đó, \[500--a\] là số tấn hợp kim thép 30% cần dùng.

Ta có \[a \cdot 10\%  + \left( {500--a} \right) \cdot 30\%  = 500 \cdot 16\% \]

\[10a + \left( {500--a} \right) \cdot 30 = 500 \cdot 16\]

\[a + 1\,\,500--3a = 800\]

\[2a = 700\]

\[a = 350\] (TMĐK)

Vậy số hợp kim thép chứa \[10\% \] crom cần dùng là 350 tấn, số hợp kim thép chứa \[30\% \] cần dùng là 150 tấn.

2)  Số crôm từ 100 tấn thép chứa \[10\% \] crôm là \[10\%  \cdot 100 = 10\] (tấn)

Số crôm từ x tấn thép chứa 30% crôm là \[0,3x\] (tấn)

Tổng số tấn thép là \[100 + x\] (tấn)

Phần trăm crôm có trong tổng số tấn thép nhà máy dự định luyện ra là: \(\frac{{10 + 0,3x}}{{100 + x}} \cdot 100\,\,\left( \%  \right)\)

Theo đầu bài, thép không gỉ Ferritic có chứa từ 12 đến 27 phần trăm crôm, ta có:

\(12 \le \frac{{10 + 0,3x}}{{100 + x}} \cdot 100 \le 27\)

\(1\,\,200 + 12x \le 1\,\,000 + 30x \le 2\,\,700 + 27x\)

Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] suy ra \[\frac{{100}}{9} \le x \le \frac{{1\,\,700}}{3}.\]

Vậy \[x\] nằm trong khoảng \[\frac{{100}}{9}\] đến \[\frac{{1\,\,700}}{3}.\]