Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 4z + 5 = 0\). Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng \(d:\frac{{x - 5}}{3} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{2}\), đồng thời cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích bằng 4π. Khi đó:

( a) Mặt cầu (S) có tâm I(2; −1; −2) và bán kính R = 2.

(b) Đường tròn giao tuyến có bán kính r = 2.

(c) Mặt cầu (P) nhận \(\overrightarrow n = \left( {3;1;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

(d) Phương trình mặt cầu (P): \(3x - y + 2z - 3 = 0\).

Trong không gian Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm A(1; 4; −3) và chứa trục Ox. Tính bán kính mặt cầu (S) có tâm I(1; 2;1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P).

Cho 3 điểm M(2; 3; 3), N(2; −1; −1), P(−2; −1; 3) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x + 3y - z + 2 = 0\). Phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm M, N, P và có tâm thuộc mặt phẳng (α) có bán kính bằng bao nhiêu?

Một quả bóng hình cầu có bán kính 2 m được treo lơ lửng trên một mặt phẳng. Tâm quả bóng cách mặt đất 10 m. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc tọa độ O là hình chiếu của tâm quả cầu trên mặt đất, tia Oz chứa tâm quả cầu, các trục Ox, Oy thuộc mặt đất. Khi đó, phương trình mặt cầu bề mặt của quả bóng là \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\). Tính giá trị của \(a + b + c + d\).

Một quả bóng bay hình cầu có phương trình \({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 1\) trong hệ trục tọa độ Oxyz (với mặt phẳng (Oxy) là mặt đất, đơn vị trên trục là mét). Giả sử một chú chim bay lên cao và đậu lên đỉnh của quả bóng bay (xem hình vẽ minh họa). Hỏi chú chim cách mặt đất bao nhiêu mét?

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 25\). Điểm nào sau đây nằm bên trong mặt cầu (S)?

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; −3) và đi qua A(1; 0; 4).

Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm I(6; 3; −4) tiếp xúc với Ox có bán kính R bằng