Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm \(A\left( {2;\,1;\, - 1} \right)\), \(B\left( {3;\,1;\,0} \right)\), \(C\left( { - 1;\,1;\,3} \right)\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Gọi \(x\)(phút) là khoảng thời gian cả hai chuỗi led đồng thời xuất phát đến \(M\) và \(N\) là hai điểm sáng đầu tiên

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BM = 4x\\AN = 10x\end{array} \right.\)\( \Rightarrow AM = 4 - 4x\)với \(0 \le x \le 4\)

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) \( \Rightarrow \cos \widehat {MAN} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{4}{5}\)

Xét tam giác \(AMN\) ta có : \(M{N^2} = A{M^2} + A{N^2} - 2AM.AN.\cos \widehat {MAN}\)

\(M{N^2} = {\left( {4 - 4x} \right)^2} + {\left( {10x} \right)^2} - 2.\left( {4 - 4x} \right).10x.\frac{4}{5}\)\( = 180{x^2} - 96x + 16 = f\left( x \right)\)

Để khoảng cách giữa hai điểm sáng đầu tiên của hai chuỗi led nhỏ nhất \( \Leftrightarrow M{N_{\min }} \Leftrightarrow M{N^2}_{\min }\)

Xét \(f\left( x \right) = 180{x^2} - 96x + 16\) với \(x \in \left[ {0;4} \right]\)

\(f'\left( x \right) = 360x - 96 = 0 \Leftrightarrow \)\(x = \frac{4}{{15}}\)\( \Rightarrow M{N^2}\)đạt giá trị nhỏ nhất \( \Leftrightarrow x = \frac{4}{{15}}\) (phút) \( = 16\) (giây)

Vậy sau 16 giây thì hai điểm sáng đầu tiên của chuỗi led có khoảng cách nhỏ nhất.

Ta có:

\(AH = \frac{{AC - HK}}{2} = 3\sqrt 2  - \frac{x}{2}.\)

Đường cao của hình chóp tứ giác đều là:

\(h = \sqrt {A{H^2} - O{H^2}}  = \sqrt {{{\left( {3\sqrt 2  - \frac{x}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {18 - 3\sqrt 2 x} \).

Thể tích khối chóp là: \(V = \frac{1}{3}h{x^2} = \frac{1}{3}{x^2}\sqrt {18 - 3\sqrt 2 x}  = \frac{1}{3}\sqrt {{x^4}(18 - 3\sqrt 2 x)} \).

Để tìm giá trị lớn nhất của \(V\) ta đi tìm giá trị lớn nhất của hàm số

\(f(x) = {x^4}(18 - 3\sqrt 2 x){\rm{, }}0 < x < 6\sqrt 2 {\rm{. }}\)

Ta có: \({f^\prime }(x) = {x^3}( - 15\sqrt 2 x + 72),{f^\prime }(x) = 0\) khi \(x = 0\) hoặc \(x = \frac{{12\sqrt 2 }}{5}\).

Bảng biến thiên của \(f(x)\) như sau:

Từ bảng biến thiên ta có \({\max _{(0;6\sqrt 2 )}}f\left( {\frac{{12\sqrt 2 }}{5}} \right) \approx 477,75\) tại \(x = \frac{{12\sqrt 2 }}{5}\).

Vậy thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất bằng:

\({V_{\max }} = \frac{1}{3}\sqrt {{{\left( {\frac{{12\sqrt 2 }}{5}} \right)}^4}\left( {18 - 3\sqrt 2  \cdot \frac{{12\sqrt 2 }}{5}} \right)}  \approx 7,3\left( {d{m^3}} \right).\)