PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

(1,0 điểm) Giải các phương trình lượng giác:

a) \({\cos ^2}x - \sin 2x = \sqrt 2 + {\sin ^2}x\);

b) \(\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - \left( {\sqrt 3 - 1} \right)\cot x - \left( {\sqrt 3 + 1} \right) = 0\) và \(x \in \left( {0;\pi } \right)\).

a) \({\cos ^2}x - \sin 2x = \sqrt 2 + {\sin ^2}x\)

\( \Leftrightarrow {\cos ^2}x - {\sin ^2}x - \sin 2x = \sqrt 2 \)

\( \Leftrightarrow \cos 2x - \sin 2x = \sqrt 2 \)

\[ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos 2x - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin 2x = 1\]

\[ \Leftrightarrow \cos 2x.\cos \frac{\pi }{4} - \sin 2x\sin \frac{\pi }{4} = 1\]

\( \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1\)

\( \Leftrightarrow 2x + \frac{\pi }{4} = k2\pi \)

\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{8} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = - \frac{\pi }{8} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

b) \(\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - \left( {\sqrt 3 - 1} \right)\cot x - \left( {\sqrt 3 + 1} \right) = 0\).

Điều kiện: \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Phương trình đã cho tương đương với

\(\left( {1 + {{\cot }^2}x} \right) - \left( {\sqrt 3 - 1} \right)\cot x - \left( {\sqrt 3 + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {\cot ^2}x - \left( {\sqrt 3 - 1} \right)\cot x - \sqrt 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cot x = - 1\\\cot x - \sqrt 3 \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {tm} \right)\\x = \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Do \(x \in \left( {0;\pi } \right)\) nên \(x = \frac{{3\pi }}{4};x = \frac{\pi }{6}\).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x \in \left\{ {\frac{{3\pi }}{4};\frac{\pi }{6}} \right\}\).