Cho tứ diện\[ABCD\], \[M\] là trung điểm của\[AB\], \[N\] là điểm trên \[AC\] mà \[AN = \frac{1}{4}AC,\] \[P\] là điểm trên đoạn \[AD\] mà \[AP = \frac{2}{3}AD\]. Gọi \[E\] là giao điểm của \[MP\] và \[BD\], \[F\] là giao điểm của \[MN\] và \[BC\]. Khi đó giao tuyến của \[\left( {BCD} \right)\] và \[\left( {CMP} \right)\] là

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Vì \(M\) là điểm chung của \(SA\) và \(\left( {CMD} \right)\), nên giao điểm của đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {CMD} \right)\) (nếu có) sẽ thuộc giao tuyến của \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {CMD} \right)\).

Ta có \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {CMD} \right)\) có điểm chung là \(M\) và \(AB//CD\) nên giao tuyến của \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {CMD} \right)\) là đường thẳng \(d\) qua \(M\) và song song \(AB,CD\).

Gọi \(N = d \cap SB\), khi đó, \(MN//AB\), mà \(M\) là trung điểm \(SA\), suy ra, \(N\) là trung điểm \(SB\).

Vậy giao điểm của đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {CMD} \right)\) là trung điểm \(SB\).

a) Do \(M,I\) lần lượt là trung điểm của \(SD,SG\) nên \(MI\) là đường trung bình của tam giác \(SDG\).

Do đó \(MI\,{\rm{//}}\,DG\) hay \(MI\,{\rm{//}}\,BD\).

b) Trong \(\left( {SBD} \right)\) kẻ \(MI\) cắt \(SO\) tại \(E\) (với \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\))

Trong \(\left( {SAC} \right)\) kẻ \(CE\) cắt \(SA\) tại \(F\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}F \in SA\\F \in \left( {CMI} \right)\end{array} \right.\) hay \(F = SA \cap \left( {CMI} \right)\)

Kẻ \(ON\,{\rm{//}}\,CF\) với \(N \in SA\).

Do \(O\) là trung điểm của \(AC\) nên \(N\) là trung điểm của \[FA\].

Vì \(FE\,{\rm{//}}\,NO\) và \(E\) là trung điểm của \(SO\) nên \(F\) là trung điểm của \(SN\).

Vậy \(\frac{{FS}}{{FA}} = \frac{1}{2}.\)