Cho tứ diện\[ABCD\], \[M\] là trung điểm của\[AB\], \[N\] là điểm trên \[AC\] mà \[AN = \frac{1}{4}AC,\] \[P\] là điểm trên đoạn \[AD\] mà \[AP = \frac{2}{3}AD\]. Gọi \[E\] là giao điểm của \[MP\] và \[BD\], \[F\] là giao điểm của \[MN\] và \[BC\]. Khi đó giao tuyến của \[\left( {BCD} \right)\] và \[\left( {CMP} \right)\] là

a) Do \(M,I\) lần lượt là trung điểm của \(SD,SG\) nên \(MI\) là đường trung bình của tam giác \(SDG\).

Do đó \(MI\,{\rm{//}}\,DG\) hay \(MI\,{\rm{//}}\,BD\).

b) Trong \(\left( {SBD} \right)\) kẻ \(MI\) cắt \(SO\) tại \(E\) (với \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\))

Trong \(\left( {SAC} \right)\) kẻ \(CE\) cắt \(SA\) tại \(F\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}F \in SA\\F \in \left( {CMI} \right)\end{array} \right.\) hay \(F = SA \cap \left( {CMI} \right)\)

Kẻ \(ON\,{\rm{//}}\,CF\) với \(N \in SA\).

Do \(O\) là trung điểm của \(AC\) nên \(N\) là trung điểm của \[FA\].

Vì \(FE\,{\rm{//}}\,NO\) và \(E\) là trung điểm của \(SO\) nên \(F\) là trung điểm của \(SN\).

Vậy \(\frac{{FS}}{{FA}} = \frac{1}{2}.\)    

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{{n^2} + n + 1}}{{2{n^2} + 1}} = \frac{1}{2} + \frac{{n + \frac{3}{2}}}{{2{n^2} + 1}}\)

Với mọi \(n \in \mathbb{N}*,\) xét hiệu số:

\({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{2} + \frac{{n + 1 + \frac{3}{2}}}{{2{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1}} - \left( {\frac{1}{2} + \frac{{n + \frac{3}{2}}}{{2{n^2} + 1}}} \right)\) \( = \frac{{n + \frac{5}{2}}}{{2{n^2} + 2n + 3}} - \frac{{n + \frac{3}{2}}}{{2{n^2} + 1}}\)

\( = \frac{{\left( {n + \frac{5}{2}} \right)\left( {2{n^2} + 1} \right) - \left( {n + \frac{3}{2}} \right)\left( {2{n^2} + 2n + 3} \right)}}{{\left( {2{n^2} + 2n + 3} \right)\left( {2{n^2} + 1} \right)}}\) \( = \frac{{ - 5n - 2}}{{\left( {2{n^2} + 2n + 3} \right)\left( {2{n^2} + 1} \right)}} < 0{\rm{   }}\forall n \ge 1.\)

Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.