PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

 (1,5 điểm)

a) Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \(\sin x = m - 2\) có hai nghiệm phân biệt trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{6};\frac{{2\pi }}{3}} \right)\)?

b) Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \[\frac{{\tan x - \sqrt 3 }}{{2\sin x - \sqrt 3 }} = 0\].

c) Số giờ có ánh mặt trời của một thành phố \(X\) ở vĩ độ \(40^\circ \) bắc trong ngày thứ \(t\) của một năm không nhuận được cho bởi hàm số \(d\left( t \right) = 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{162}}\left( {t - 60} \right)} \right] + 10\), với \(t \in \mathbb{Z}\) và \(0 < t \le 365\). Hỏi vào ngày nào trong năm thì thành phố \(X\) có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất?

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Vì \(M\) là điểm chung của \(SA\) và \(\left( {CMD} \right)\), nên giao điểm của đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {CMD} \right)\) (nếu có) sẽ thuộc giao tuyến của \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {CMD} \right)\).

Ta có \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {CMD} \right)\) có điểm chung là \(M\) và \(AB//CD\) nên giao tuyến của \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {CMD} \right)\) là đường thẳng \(d\) qua \(M\) và song song \(AB,CD\).

Gọi \(N = d \cap SB\), khi đó, \(MN//AB\), mà \(M\) là trung điểm \(SA\), suy ra, \(N\) là trung điểm \(SB\).

Vậy giao điểm của đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {CMD} \right)\) là trung điểm \(SB\).

a) Do \(M,I\) lần lượt là trung điểm của \(SD,SG\) nên \(MI\) là đường trung bình của tam giác \(SDG\).

Do đó \(MI\,{\rm{//}}\,DG\) hay \(MI\,{\rm{//}}\,BD\).

b) Trong \(\left( {SBD} \right)\) kẻ \(MI\) cắt \(SO\) tại \(E\) (với \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\))

Trong \(\left( {SAC} \right)\) kẻ \(CE\) cắt \(SA\) tại \(F\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}F \in SA\\F \in \left( {CMI} \right)\end{array} \right.\) hay \(F = SA \cap \left( {CMI} \right)\)

Kẻ \(ON\,{\rm{//}}\,CF\) với \(N \in SA\).

Do \(O\) là trung điểm của \(AC\) nên \(N\) là trung điểm của \[FA\].

Vì \(FE\,{\rm{//}}\,NO\) và \(E\) là trung điểm của \(SO\) nên \(F\) là trung điểm của \(SN\).

Vậy \(\frac{{FS}}{{FA}} = \frac{1}{2}.\)