Trong các hàm số dưới đây có bao nhiêu hàm số là hàm số chẵn?

\[y = {\rm{cos}}3x\,\,\left( 1 \right)\];        \[y = {\rm{sin }}\left( {{x^2} + 1} \right){\rm{ }}\left( 2 \right)\];                            \[y = {\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}x\;\,\,\,\left( 3 \right)\];                     \[y = {\rm{cot }}x\,\,\;\left( 4 \right)\].

Lời giải

Đáp án đúng là: C

⦁ Xét hàm \[y = f\left( x \right) = \cos 3x\]

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]

Với mọi \[x \in D,\] ta có: \[ - x \in D\] và \[f\left( { - x} \right) = \cos \left( { - 3x} \right) = \cos 3x = f\left( x \right)\]

Do đó, \[y = f\left( x \right) = \cos 3x\] là hàm chẵn trên trên \(\mathbb{R}\).

⦁ Xét hàm \[y = g\left( x \right) = \sin \left( {{x^2} + 1} \right)\]

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]

Với mọi \[x \in D,\] ta có: \[ - x \in D\] và \(g\left( { - x} \right) = \sin \left( {{{\left( { - x} \right)}^2} + 1} \right) = \sin \left( {{x^2} + 1} \right) = g\left( x \right)\)

Do đó: \[y = g\left( x \right) = \sin \left( {{x^2} + 1} \right)\] là hàm chẵn trên \(\mathbb{R}\).

⦁ Xét hàm\(\,y = h\left( x \right) = {\tan ^2}x\).

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

Với mọi \[x \in D,\] ta có: \[ - x \in D\] và \(h\left( { - x} \right) = {\tan ^2}\left( { - x} \right) = {\tan ^2}x = h\left( x \right)\)

Do đó: \(\,y = h\left( x \right) = {\tan ^{2016}}x\) là hàm số chẵn trên \(D\).

⦁ Xét hàm\(\,\,y = t\left( x \right) = \cot x\).

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\]

Với mọi \[x \in D,\] ta có: \[ - x \in D\] và \(t\left( { - x} \right) = \cot \left( { - x} \right) = - \cot x = - t\left( x \right)\)

Do đó: \(\,y = t\left( x \right) = \cot x\) là hàm số lẻ trên \(D\).

Vậy \[\left( 1 \right)\], \[\left( 2 \right)\], \[\left( 3 \right)\] là các hàm số chẵn.