Cho bốn điểm \(N\) không cùng ở trong một mặt phẳng. Gọi \(P\) lần lượt là trung điểm của \(D\). Trên \(MND\) lấy điểm \(MND\) sao cho \(MN = \frac{{AB}}{2} = a\) không song song với \(DM = DN = \frac{{AD\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \) (\(MND\) không trùng với các đầu mút). Gọi \(E\) là giao điểm của đường thẳng \(D\) với mặt phẳng \(H\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

a) Gọi \(K\) là trung điểm của \(SB\) suy ra \(G,\) \(G'\) thuộc mặt phẳng\(\left( {KAC} \right)\).

Ta có: \(G\) là trọng tâm tam giác \(SAB\) nên \(\frac{{KG}}{{KA}} = \frac{1}{3}\);

Và \(G'\) là trọng tâm tam giác \(SBC\) nên \(\frac{{KG'}}{{KC}} = \frac{1}{3}\)

Khi đó \(\frac{{KG}}{{KA}} = \frac{{KG'}}{{KC}}\), suy ra \(GG'{\rm{//}}AC\).

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}GG'{\rm{//}}AC\\GG' \not\subset \left( {SAC} \right)\\AC \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow GG'{\rm{//}}\left( {SAC} \right)\).

Gọi \(I\) là trung điểm của cạnh \(AD.\)

Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) giả sử \(IE\) và \(BC\) cắt nhau tại điểm \(Q\).

Dễ thấy \(SQ = \left( {IGE} \right) \cap \left( {SBC} \right)\).

Do đó: \(GE\,{\rm{//}}\,\left( {SBC} \right)\)\( \Leftrightarrow GE{\rm{//}}SQ\)

\( \Leftrightarrow \frac{{IE}}{{IQ}} = \frac{{IG}}{{IS}}\) \( \Rightarrow \frac{{IE}}{{IQ}} = \frac{1}{3}\)  (1)