(0,5 điểm) Xét tính tăng giảm của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{\sqrt {n + 1} - 1}}{n}.\)

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với\({u_n} = \frac{{\sqrt {n + 1}  - 1}}{n}\)

Ta có: \({u_n} = \frac{{\left( {n + 1} \right) - 1}}{{n\left( {\sqrt {n + 1}  + 1} \right)}} = \frac{1}{{\sqrt {n + 1}  + 1}}\)

Dễ dàng ta có: \(\sqrt {\left( {n + 1} \right) + 1}  + 1 > \sqrt {n + 1}  + 1\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt {\left( {n + 1} \right) + 1}  + 1}} < \frac{1}{{\sqrt {n + 1}  + 1}}\) \( \Leftrightarrow {u_{n + 1}} < {u_n}.\)

Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.