Cho tứ diện \(ABCD\), \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC\). Mặt phẳng \((\alpha )\) qua \(MN\) cắt tứ diện \(ABCD\) theo thiết diện là đa giác \((T)\). Khẳng định nào sau đây đúng?

Kể từ lúc 1 giờ đến 24 giờ thì số tiếng được đánh lập thành cấp số cộng có 24 số hạng với \({u_1} = 1\), công sai \(d = 1\).

Số tiếng chuông được đánh trong 1 ngày là:

\(S = {S_{24}} = \frac{{24}}{2}\left( {{u_1} + {u_{24}}} \right) = 12(1 + 24) = 300\) (tiếng chuông).

Vậy một ngày đồng hồ đó đánh 300 tiếng chuông.

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}MN \subset (MNP)\\AB \subset (ABD)\\MN\,\,{\rm{//}}\,\,AB\end{array} \right. \Rightarrow (MNP) \cap (ABD) = Px\,\,{\rm{//}}\,\,AB\,\,{\rm{//}}\,\,MN\)

Do đó, giao tuyến của mặt phẳng \((MNP)\) với các mặt phẳng \((ABD)\) là \(Px\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}M \in (MNP)\\M \in BC \subset (BCD)\end{array} \right. \Rightarrow M \in (MNP) \cap (BCD)\).

Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}P \in (MNP)\\P \in BD \subset (BCD)\end{array} \right. \Rightarrow P \in (MNP) \cap (BCD)\).

Do đó, giao tuyến của mặt phẳng \((MNP)\) với các mặt phẳng \((BCD)\) là \(MP\).

Vậy giao tuyến của mặt phẳng \((MNP)\) với các mặt phẳng \((ABD),\,\,(BCD)\) lần lượt là \(Px\) và \(MP\).

b) Vì \(\frac{{DQ}}{{QA}} = \frac{{DP}}{{PB}}\) nên \(PQ\,\,{\rm{//}}\,\,AB\).

Do đó \(PQ\) song song với mặt phẳng \((ABC)\).

Ta có \(Q \in (MNP)\). Do đó:

• \((MNP) \cap (ACD) = QN\)

• \((MNP) \cap (BCD) = PM\)

• \((ACD) \cap (BCD) = CD\)

Vì \(\frac{{CM}}{{MB}} \ne \frac{{DP}}{{PB}}\) nên \(DC\) cắt \(PM\) tại \(I\).

Do đó ba đường thẳng \(DC,\,\,QN,\,\,PM\) đồng quy.