Cho hình chữ nhật \(ABCD\), \(AB = 4a,AD = 3a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), \(G\) là trọng tâm tam giác \(ACM\) (tham khảo hình vẽ)

Các câu sau đúng hay sai?

a) \(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {BC}  = 3\overrightarrow {BG} \).

b) \(\overrightarrow {CM}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  - 3\overrightarrow {BC} \).

c) \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BA}  = 0\).

d) \(\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {CM}  =  - {a^2}\).

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Vì G là trọng tâm của tam giác \(ACM\) nên \(3\overrightarrow {BG}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {BC} \).

b) Ta có \(\overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {BM}  - \overrightarrow {BC}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BC} \).

c) Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BA}  = 0\).

d) Ta có \(3\overrightarrow {BG}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {BC} \)\( = \overrightarrow {BA}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC} \)\( = \frac{3}{2}\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {BG}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \).

Ta có \(\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {CM}  = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} } \right).\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BC} } \right)\)\( = \frac{1}{4}{\overrightarrow {BA} ^2} - \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  - \frac{1}{3}{\overrightarrow {BC} ^2}\)\( = \frac{1}{4}{\overrightarrow {BA} ^2} - \frac{1}{3}{\overrightarrow {BC} ^2}\)

\( = \frac{1}{4}.{\left( {4a} \right)^2} - \frac{1}{3}.\left( {3{a^2}} \right) = {a^2}\).