Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 2,AC = 3,\widehat {BAC} = 60^\circ \). Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\). Điểm D thỏa mãn \(\overrightarrow {AD}  = \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} \). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \).

b) \(\overrightarrow {BD}  = 7\overrightarrow {AC}  - 12\overrightarrow {AB} \).

c) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 3\sqrt 3 \).

d) \(AM \bot BD\).

a) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \).

b) \(\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} \)\( = \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} \).

c) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)\( = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\)\( = 2.3.\cos 60^\circ  = 3\).

d) Ta có \(\overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).

Xét \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD}  = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right).\left( {\frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right)\)\( = \frac{7}{{24}}.\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  - \frac{1}{2}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{7}{{24}}.{\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{1}{2}.\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)

\( =  - \frac{1}{2}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{7}{{24}}.{\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{5}{{24}}.\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)\( =  - \frac{1}{2}{.2^2} + \frac{7}{{24}}{.3^2} - \frac{5}{{24}}.3 = 0\).

Do đó \(AM \bot BD\).