Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh bằng \(15\). Gọi \(M,\)\(N\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(B'C'.\) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(B'D'\).

a) Đúng. \(\Delta SAB\) đều, \(H\) là trung điểm \(AB\) \( \Rightarrow SH \bot AB\).

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\left(SAB\right)\cap \left(ABC\right) = AB \\ SH\perp AB \\ \left(SAB\right)\perp \left(ABC\right) \end{array}\right.\Rightarrow SH \perp \left(ABC\right)$

b) Đúng. Mặt khác, ta có \(SH \subset \left( {SHC} \right) \Rightarrow \left( {SHC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\).

c) Sai. \(\Delta SAB\) đều cạnh bằng \(2a\)\( \Rightarrow SH = a\sqrt 3 \).

\(\Delta ABC\) vuông tại \(C\) \( \Rightarrow CB = \sqrt {A{B^2} - A{C^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}} = a\) (Pythagore).

Vậy \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABC}} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot \frac{{AC \cdot CB}}{2} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 .a}}{2} \cdot a\sqrt 3 = \frac{1}{2}{a^3}\).

d) Sai. Kẻ \(CM \bot AB\) tại M.

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(C\) có: \(CM \cdot AB = AC \cdot CB \Rightarrow CM = \frac{{AC \cdot CB}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\).

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\left(SAB\right)\cap \left(ABC\right) = AB \\ CM\perp AB \\ \left(SAB\right)\perp \left(ABC\right) \end{array}\right.\Rightarrow CM \perp \left(ABC\right) \Rightarrow d(C, (SAB) = CM\hspace{0.17em}= \frac{\sqrt{3}a}{2}$

Theo tính chất của hình chóp đều, ta có \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABCD}} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot {2^2} \cdot 2 = \frac{8}{3} \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{2} \cdot {V_{S.ABCD}} = \frac{4}{3}.\)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(CB\), tam giác \(SBC\) có \(SC = SB = \sqrt {S{O^2} + O{B^2}} = \sqrt {{2^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt 6 \) và \(SI = \sqrt {S{O^2} + O{I^2}} = \sqrt {{2^2} + {1^2}} = \sqrt 5 \) nên có diện tích bằng \({S_{\Delta SBC}} = \frac{1}{2} \cdot SI \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \sqrt 5 \cdot 2 = \sqrt 5 \).

Gọi \(J\) là hình chiếu của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\), gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) thì \(\sin \varphi = \sin \widehat {ASJ} = \frac{{AJ}}{{SA}} = \frac{{d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)}}{{SA}}.\)

Mà \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{3{V_{S.ABC}}}}{{{S_{\Delta SBC}}}} = \frac{4}{{\sqrt 5 }}\). Vậy \(\sin \varphi = \frac{{d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)}}{{SA}} = \frac{{2\sqrt {30} }}{{15}} \approx 0,73\).

Đáp án: 0,73.