Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh bằng $15$. Gọi $M,$$N$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $B'C'.$ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $MN$ và $B'D'$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề ôn luyện Toán Chương 5. Hình học không gian (đề số 2) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Gọi $O$ là tâm của hình vuông $A'B'C'D'$, $I$ là trung điểm của $C'D'$ và $E = NI \cap A'C'$.

Khi đó $NI \bot A'C'$. Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên $ME$. Dễ có $OH \bot \left( {MNI} \right)$.

Do $B'D'{\rm{//}}\left( {MNI} \right),\,MN \subset \left( {MNI} \right) \Rightarrow d\left( {MN\,,\,B'D'} \right) = d\left( {\,B'D',\,\left( {MNI} \right)} \right) = d\left( {\,O,\,\left( {MNI} \right)} \right) = OH$.

Ta có $MO = 15,OE = \frac{1}{2}OC' = \frac{1}{4}A'C' = \frac{{15\sqrt 2 }}{4} \Rightarrow OH = \frac{{MO.OE}}{{\sqrt {M{O^2} + O{E^2}} }} = 5.$

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $MN$ và $B'D'$ bằng $5.$

Đáp án: 5.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chóp $S.ABC$ có mặt bên $\left( {SAB} \right)$ vuông góc với mặt đáy và tam giác \[SAB\] đều cạnh $2a$. Biết tam giác $ABC$ vuông tại $C$ và cạnh $AC = a\sqrt 3 $. Gọi $H$ là trung điểm của $AB$.

a) $SH \bot \left( {ABC} \right)$.

b) Mặt phẳng $\left( {SHC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ vuông góc với nhau.

c) Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng $\frac{{{a^3}}}{6}$.

d) $d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$

Lời giải

a) Đúng. $\Delta SAB$ đều, $H$ là trung điểm $AB$ $ \Rightarrow SH \bot AB$.

Ta có $\{\begin{cases} (S A B) \cap (A B C) = A B \\ S H ⊥ A B \\ (S A B) ⊥ (A B C) \end{cases} \Rightarrow S H ⊥ (A B C)$

b) Đúng. Mặt khác, ta có $SH \subset \left( {SHC} \right) \Rightarrow \left( {SHC} \right) \bot \left( {ABC} \right)$.

c) Sai. $\Delta SAB$ đều cạnh bằng $2a$$ \Rightarrow SH = a\sqrt 3 $.

$\Delta ABC$ vuông tại $C$ $ \Rightarrow CB = \sqrt {A{B^2} - A{C^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}} = a$ (Pythagore).

Vậy ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABC}} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot \frac{{AC \cdot CB}}{2} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 .a}}{2} \cdot a\sqrt 3 = \frac{1}{2}{a^3}$.

d) Sai. Kẻ $CM \bot AB$ tại M.

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $C$ có: $CM \cdot AB = AC \cdot CB \Rightarrow CM = \frac{{AC \cdot CB}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a$.

Ta có $\{\begin{cases} (S A B) \cap (A B C) = A B \\ C M ⊥ A B \\ (S A B) ⊥ (A B C) \end{cases} \Rightarrow C M ⊥ (A B C) \Rightarrow d (C, (S A B) = C M = \frac{\sqrt{3} a}{2}$

Câu 2

Bạn An muốn làm các viên đá có dạng khối chóp cụt tứ giác đều có cạnh của đáy lớn bằng $3\,{\rm{cm}}$, cạnh của đáy nhỏ bằng $1,5\,{\rm{cm}}$ và cao $3\,{\rm{cm}}$ bằng cách dùng khay đá, mỗi khay sẽ tạo được $6$ viên đá. Hỏi bạn An cần ít nhất bao nhiêu khay để chứa đồng thời $2$ lít nước?

Lời giải

Thể tích nước mà một khay đá chứa được tối đa là:

$V = 6{V_1} = 6 \cdot \left[ {\frac{1}{3}h\left( {S + \sqrt {S \cdot S'} + S'} \right)} \right] = 6 \cdot \left[ {\frac{1}{3} \cdot 3\left( {{3^2} + \sqrt {{3^2} \cdot 1,{5^2}} + 1,{5^2}} \right)} \right] = \frac{{189}}{2}\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)$.

Ta có $2$lít $ = 2000\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$.

Vì $2000:\frac{{189}}{2} \approx 21,16$ nên cần dùng tối thiểu $22$ cái khay để đựng đủ $2$ lít nước.

Đáp án: 22.

Câu 3