(1,5 điểm) Cho hình chóp \[S.ABCD\] có \[O\] là giao điểm của \[AC\] và \[BD.\] Một mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] cắt các cạnh \[SA,{\rm{ }}SB,{\rm{ }}SC,{\rm{ }}SD\] lần lượt tại \[A'\,,\,\,B'\,,\,\,C'\,,\,\,D'.\] Giả sử \[AB\] cắt \[CD\] tại \[E\] và \[A'B'\] cắt \[C'D'\] tại \[E'.\]

a) Chứng minh ba điểm \[S,{\rm{ }}E,{\rm{ }}E'\] thẳng hàng.

b) Tìm \[\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right).\]

c) Chứng minh \[A'C',{\rm{ }}B'D',{\rm{ }}SO\] đồng quy.

a) Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}E' \in A'B' \subset \left( {SAB} \right)\\E' \in C'D' \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow E' \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\]

    Mặt khác \[\left\{ \begin{array}{l}E \in AB \subset \left( {SAB} \right)\\E \in CD \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow E \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\]

    Do đó \[EE' = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\]   

    Mà \[S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\] nên \[S \in EE'.\]

    Vậy ba điểm \[S,{\rm{ }}E,{\rm{ }}E'\] thẳng hàng.

b) Trong \[\left( \alpha  \right)\]gọi \[\left\{ M \right\} = A'C' \cap B'D'\]

    Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\O \in BD \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\].

c) Ta có \[O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\]

    Mà \(S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\)\( \Rightarrow SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\)

    Lại có: \[\left\{ \begin{array}{l}M \in A'C' \subset \left( {SAC} \right)\\M \in B'D' \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow M \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\]

    Vậy \(M \in SO\) hay \[A'C',{\rm{ }}B'D',{\rm{ }}SO\] đồng quy tại \[M.\]