Cho tam giác \[ABC\] có các cạnh \[AB = c;{\rm{ }}BC = a;{\rm{ }}AC = b\]. Tính góc \[\widehat {BCA}\] của tam giác \[ABC\] biết \[a \ne b\] và $a\left(a^2–c^2\right)=b\left(b^2–c^2\right)$?

Hướng dẫn giải

Gọi \[x,{\rm{ }}y\,(x \ge 0,\,y \ge 0,\,x,\,y \in \mathbb{N})\] lần lượt là số áo dài tay và ngắn tay mà cửa hàng nên mua để kinh doanh lãi nhất.

Theo yêu cầu bài toán, ta có hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 100\\8x + 6y \le 720\end{array} \right.\]\[\left( 1 \right)\]

Ta cần tìm \[x,\,y\] để biểu thức \[F = 150.000x + 120.000y\] đạt GTLN trên miền nghiệm của \[\left( 1 \right)\].

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình \[\left( 1 \right)\]:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác \[OABC\].

Các điểm ở đỉnh tứ giác có tọa độ: \[O\left( {0;\,0} \right),\,A\left( {0;\,100} \right),\,B\left( {60;\,40} \right),\,C\left( {90;\,0} \right)\].

Tại \[O\left( {0;\,0} \right)\]: \[F = 0\]

Tại \[A\left( {0;\,100} \right)\]: \[F = 12.000.000\]

Tại \[B\left( {60;\,40} \right)\]: \[F = 13.800.000\]

Tại \[C\left( {90;\,0} \right)\]: \[F = 13.500.000\]

Vậy cửa hang nên nhập \[60\] cái áo dài tay và \[40\] cái áo ngắn tay để kinh doanh thì có lãi nhất và lãi thu được là \[13.800.000\] đồng.

Hướng dẫn giải

a) Gọi \[M\], \[N\] theo thứ tự là trung điểm của các cạnh \[BC\], \[AC\].

Gọi \[G\] là trọng tâm tam giác \[ABC\].

Khi đó: \[AG = \frac{2}{3}AM,{\rm{ }}BG = \frac{2}{3}BN\].

Theo định lý Pythagore ta có:

\[{c^2} = A{B^2} = A{G^2} + B{G^2} = \frac{4}{9}\left( {\frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4}} \right) + \frac{4}{9}\left( {\frac{{{c^2} + {a^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4}} \right) = \frac{4}{9}\left( {{c^2} + \frac{{{a^2} + {b^2}}}{4}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow {c^2} = \frac{4}{9}\left( {\frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4}} \right) + \frac{4}{9}\left( {\frac{{{c^2} + {a^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow {c^2} = \frac{4}{9}\left( {\frac{{{b^2} + {c^2} + {c^2} + {a^2}}}{2} - \frac{{{a^2} + {b^2}}}{4}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow {c^2} = \frac{4}{9}\left( {\frac{{{a^2} + {b^2} + 4{c^2}}}{4}} \right)\]

\[ \Rightarrow 5{c^2} = {a^2} + {b^2}\].

b) Do \[{a^2} + {b^2} = 5{c^2}\] nên \[\cot C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{4S}} = \frac{{{c^2}}}{S}\]

Mà \[2(\cot A + \cot B) = 2\left( {\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4S}} + \frac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{4S}}} \right) = \frac{{{c^2}}}{S}\]

\[ \Rightarrow cotC = 2\left( {cotA + cotB} \right)\].