II. PHẦN TỰ LUẬN (3 điểm)

(1,0 điểm)

a) Cho hai tập hợp \(A = \left[ { - 9;\,\,5} \right)\) và \(B = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x + 2 < 4} \right\}\). Tìm tập hợp \(\left( {{C_\mathbb{R}}A} \right)\backslash B\).

b) Cho hai tập hợp \(A = \left[ { - 6;0} \right]\) và \(B = \left\{ {x \in \mathbb{R}|m{x^2} - \left( {m - 2} \right)x + 7 - m = 0} \right\}\), với \(m \in \mathbb{R}\). Tìm m để tập \(B\) có đúng hai tập con đồng thời \(B \subset A\).

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(A = \left[ { - 9;\,\,5} \right)\)

\( \Rightarrow {C_\mathbb{R}}A = \left( { - \infty ;\,\, - 9} \right) \cup \left[ {5;\, + \infty } \right)\)

Xét \(x + 2 < 4 \Leftrightarrow x < 2\)

\( \Rightarrow B = \left( { - \infty ;2} \right)\).

Vì vậy \(\left( {{C_\mathbb{R}}A} \right)\backslash B = \left[ {5;\,\, + \infty } \right)\).

b) Tập \(B\) có đúng \(2\) tập con khi và chỉ khi tập \(B\) có đúng \(1\) phần tử, hay phương trình \(m{x^2} - \left( {m - 2} \right)x + 7 - m = 0\left( 1 \right)\) có duy nhất \(1\) nghiệm thực. Do \(B \subset A\) nên \(1\) nghiệm thực duy nhất của (1) phải thuộc đoạn \(\left[ { - 6;0} \right]\).

Xét phương trình \(m{x^2} - \left( {m - 2} \right)x + 7 - m = 0\left( 1 \right)\)

TH1: Nếu \(m = 0\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2x + 7 = 0 \Leftrightarrow x =  - \frac{7}{2} \in \left[ { - 6;0} \right]\).

Vì vậy \(m = 0\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

TH2: Nếu \(m \ne 0\) thì để \(\left( 1 \right)\) có nghiệm duy nhất và nghiệm đó phải thuộc \(\left[ {1;8} \right]\) nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta  = {\left( {m - 2} \right)^2} - 4m\left( {7 - m} \right) = 5{m^2} - 32m + 4 = 0\\\frac{{m + 1}}{m} \in \left[ { - 6;0} \right]\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = \frac{{16 + 2\sqrt {59} }}{5}\\m = \frac{{16 - 2\sqrt {59} }}{5}\end{array} \right.\\\frac{{m + 1}}{m} \in \left[ { - 6;\,\,0} \right]\end{array} \right.\)

Với \(m = \frac{{16 + 2\sqrt {59} }}{5}\) ta có \(\frac{{\frac{{16 + 2\sqrt {59} }}{5} + 1}}{{\frac{{16 + 2\sqrt {59} }}{5}}} = \frac{{10 - \sqrt {59} }}{2} \notin \left[ { - 6;0} \right]\) không thỏa mãn điều kiện bài toán.

Với \(m = \frac{{16 - 2\sqrt {59} }}{5}\) ta có \(\frac{{\frac{{16 - 2\sqrt {59} }}{5} + 1}}{{\frac{{16 - 2\sqrt {59} }}{5}}} = \frac{{10 + \sqrt {59} }}{2} \notin \left[ { - 6;0} \right]\) không thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy với \(m = 0\) thì tập \(B\) có đúng hai tập con đồng thời \(B \subset A\).