Anh Trung có kế hoạch đầu tư \(400\) triệu đồng vào hai khoản \(X\) và \(Y\). Để đạt được lợi nhuận thì số tiền đầu tư cho khoản \(X\) phải ít nhất là \(100\) triệu đồng và số tiền đầu tư cho khoản \(Y\) không nhỏ hơn số tiền đầu tư cho khoản \(X\). Viết hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn mô tả về hai khoản đầu tư đó.

Hướng dẫn giải

Gọi \(x\) là số bàn và \(y\) là số ghế anh An đóng được trong một tuần \(\left( {x;y\,\, \ge 0} \right)\).

Số giờ đề đóng \(x\) chiếc bàn và \(y\) chiếc ghế là: \(6x + 3y\) (giờ).

Mỗi tuần anh làm việc không quá \(60\) giờ nên ta có bất phương trình: \(6x + 3y \le 60\) (1).

Vì số ghế nhiều hơn số bàn ít nhất \(2\) lần nên ta có: \(y \ge 2x\)(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ bất phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\6x + 3y \le 60\\y \ge 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\2x + y \le 20\\ - 2x + y \ge 0\end{array} \right.\)

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong của tam giác \(OAB\) với \(O\left( {0;\,\,0} \right),\,A\left( {5;\,\,10} \right),\,\,B\left( {0;20} \right)\).

Số tiền lãi thu được: \(F\left( {x;\,\,y} \right) = 150x + 100y\) (nghìn đồng).

Ta có:

Tại \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) có \(F\left( {0;\,\,0} \right) = 150.0 + 100.0 = 0\);

Tại \(A\left( {5;\,\,10} \right)\) có \(F\left( {5;\,\,10} \right) = 150.5 + 100.10 = 1\,\,750\);

Tại \(B\left( {0;20} \right)\) có \(F\left( {0;\,\,20} \right) = 150.0 + 100.20 = 2\,\,000\).

Vậy một tuần anh An phải đóng được \(0\) chiếc bàn và \(20\)chiếc ghế để tiền lãi thu được là lớn nhất.

a) 

b) Ta có hình vẽ:

Quãng đường di chuyển của tàu từ \(A\) đến vị trí \(B\) (động cơ tàu bị hỏng) sau \(1,5\) giờ với vận tốc \(60km/h\) là: \(60\,.\,1,5\, = \,90\,\,\left( {km} \right)\).

Quãng đường di chuyển của tàu từ \(B\) đến vị trí \(C\) (nơi neo đậu) sau \(3\) giờ với vận tốc \(6\,\,km/h\) là: \(6\,.\,3\, = \,18\,\,\left( {km} \right)\).

Ta có: \(\widehat {ABC} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).

Xét tam giác \(ABC\), có:

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.BC.{\rm{cos}}\widehat {ABC}\) (định lí cosin)

\( = {90^2} + {18^2} - 2.90.18.{\rm{cos120}}^\circ \)

\( = 10\,\,044\)

\( \Leftrightarrow AC = 18\sqrt {31} \approx 100\,\,\left( {km} \right)\).

Vậy khoảng cách từ cảng \(A\) tới đảo nơi tàu neo đậu là khoảng \(100\,\,km\).