Cho đường thẳng \(\left( d \right):y = ax + 3\;\,\left( {a \ne 0} \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1;\;2} \right).\) Gọi \(B,\;\,C\) lần lượt là giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) với hai trục \(Ox\) và \(Oy.\)

a) Sai.

Vì đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1;\;2} \right)\) nên \(2 = a \cdot 1 + 3\) suy ra \(a = - 1.\)

Vậy hệ số góc của đường thẳng \(\left( d \right)\) là số âm.

b) Sai.

Với \(a = - 1\) thì \(\left( d \right):\;\,y = - x + 3.\)

Vì \(B\) là giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và trục \(Ox\) nên tung độ của điểm \(B\) bằng 0.

Do đó, \(0 = - x + 3,\) suy ra \(x = 3.\) Do đó, \(B\left( {3;\;\,0} \right).\)

Vì \(C\) là giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và trục \(Oy\) nên hoành độ của điểm \(C\) bằng 0.

Do đó, \(y = - 0 + 3.\) Do đó, \(C\left( {0;\;\,3} \right).\)

c) Đúng.

Đường thẳng \(\left( d \right)\) được vẽ như hình vẽ dưới đây:

Vì \(OB = OC = 3\) và tam giác \(BOC\) vuông tại \(O\) nên tam giác \(BOC\) là tam giác vuông cân tại \(O.\)

d) Sai.

Vì tam giác \(BOC\) vuông cân tại \(O\) nên \(\widehat {OBC} = 45^\circ .\)

Do đó, góc tạo bởi đồ thị hàm số đã cho và trục hoành là: \(180^\circ - 45^\circ = 135^\circ .\)

Vậy góc tạo bởi đồ thị hàm số đã cho và trục hoành bằng \(135^\circ .\)