Miền không gạch chéo (không kể biên) là miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi hình vẽ sau:

Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho?

Hướng dẫn giải

Gọi số \(ha\) trồng dứa và trồng củ đậu lần lượt là \(x\) và \(y\) (\(ha\)), \(\left( {x,y \ge 0} \right)\).

Khi đó ta có: \(x + y \le 8\).

Tổng số công trồng \(x\left( {ha} \right)\) dứa và \(y\left( {ha} \right)\) củ đậu thỏa mãn không quá \(180\) công là: \(20x + 30y \le 180\) hay \(2x + 3y \le 18\).

Khi đó ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 8\\2x + 3y \le 18\end{array} \right.\).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong của tứ giác \(OABC\) với \(O\left( {0;\,\,0} \right)\), \(A\left( {0;\,\,6} \right)\), \(B\left( {6;\,\,2} \right)\), \(D\left( {8;\,\,0} \right)\).

Tiền thu được khi trồng \(x\left( {ha} \right)\) dứa và \(y\left( {ha} \right)\) củ đậu là: \(F\left( {x;\,\,y} \right) = 5x + 4y\) (triệu đồng).

Ta có:

Tại \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) có \(F\left( {0;\,\,0} \right) = 5.0 + 4.0 = 0\);

Tại \(A\left( {0;\,\,6} \right)\) có \(F\left( {0;\,\,6} \right) = 5.0 + 4.6 = 24\);

Tại \(B\left( {6;\,\,2} \right)\) có \(F\left( {6;\,\,2} \right) = 5.6 + 4.2 = 38\);

Tại \(D\left( {8;\,\,0} \right)\) có \(F\left( {8;\,\,0} \right) = 5.8 + 4.0 = 40\).

Vậy để thu được nhiều tiền nhất hộ nông dân đó cần trồng \(8\,\,ha\) dứa và \(0\,\,ha\) củ đậu.

Hướng dẫn giải

a) +) Ta có:

\(\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 1 = 0\\{x^2} - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\x =  - 2\\x = 2\end{array} \right.\)

Mà \( - 2;\,\,2 \in \mathbb{Z}\) và \(\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}\) nên \(A = \left\{ { - 2;\,\,2} \right\}\).

Xét \(\left| x \right| \le 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - x \le 3\\x \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge  - 3\\x \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 3 \le x \le 3\)

Mà \(x \in \mathbb{N}\) nên \(B = \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3} \right\}\).

Vì vậy \(A \cup B = \left\{ { - 2;\,\,0;\,\,1;\,\,2;\,\,3} \right\}\).

b) Để \(M \cap N = N\) thì \(N \subset M\)

\( \Leftrightarrow 0 < m < m + 1 \le 3\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m + 1 \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m \le 2\)

Vậy với \(0 < m \le 2\) thì \(M \cap N = N\).