Giả sử \(CD = h\) là chiều cao của tháp trong đó \(C\) là chân tháp. Chọn hai điểm \(A,B\) trên mặt đất sao cho ba điểm \(A,\,B,\,C\) thẳng hàng. Ta đo được \(AB = 24\,m\), \(\widehat {CAD} = 63^\circ \), \(\widehat {CBD} = 48^\circ \) (tham khảo hình vẽ).

Tính gần đúng chiều cao \(h\) của khối chóp.

Hướng dẫn giải

Gọi số \(ha\) trồng dứa và trồng củ đậu lần lượt là \(x\) và \(y\) (\(ha\)), \(\left( {x,y \ge 0} \right)\).

Khi đó ta có: \(x + y \le 8\).

Tổng số công trồng \(x\left( {ha} \right)\) dứa và \(y\left( {ha} \right)\) củ đậu thỏa mãn không quá \(180\) công là: \(20x + 30y \le 180\) hay \(2x + 3y \le 18\).

Khi đó ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 8\\2x + 3y \le 18\end{array} \right.\).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong của tứ giác \(OABC\) với \(O\left( {0;\,\,0} \right)\), \(A\left( {0;\,\,6} \right)\), \(B\left( {6;\,\,2} \right)\), \(D\left( {8;\,\,0} \right)\).

Tiền thu được khi trồng \(x\left( {ha} \right)\) dứa và \(y\left( {ha} \right)\) củ đậu là: \(F\left( {x;\,\,y} \right) = 5x + 4y\) (triệu đồng).

Ta có:

Tại \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) có \(F\left( {0;\,\,0} \right) = 5.0 + 4.0 = 0\);

Tại \(A\left( {0;\,\,6} \right)\) có \(F\left( {0;\,\,6} \right) = 5.0 + 4.6 = 24\);

Tại \(B\left( {6;\,\,2} \right)\) có \(F\left( {6;\,\,2} \right) = 5.6 + 4.2 = 38\);

Tại \(D\left( {8;\,\,0} \right)\) có \(F\left( {8;\,\,0} \right) = 5.8 + 4.0 = 40\).

Vậy để thu được nhiều tiền nhất hộ nông dân đó cần trồng \(8\,\,ha\) dứa và \(0\,\,ha\) củ đậu.

Hướng dẫn giải

a) +) Ta có:

\(\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 1 = 0\\{x^2} - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\x =  - 2\\x = 2\end{array} \right.\)

Mà \( - 2;\,\,2 \in \mathbb{Z}\) và \(\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}\) nên \(A = \left\{ { - 2;\,\,2} \right\}\).

Xét \(\left| x \right| \le 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - x \le 3\\x \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge  - 3\\x \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 3 \le x \le 3\)

Mà \(x \in \mathbb{N}\) nên \(B = \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3} \right\}\).

Vì vậy \(A \cup B = \left\{ { - 2;\,\,0;\,\,1;\,\,2;\,\,3} \right\}\).

b) Để \(M \cap N = N\) thì \(N \subset M\)

\( \Leftrightarrow 0 < m < m + 1 \le 3\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m + 1 \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m \le 2\)

Vậy với \(0 < m \le 2\) thì \(M \cap N = N\).