Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\). Gọi \(E\) là trung điểm cạnh \(BC\) và \(F\) là trung điểm cạnh \(AE\). Tính độ dài đoạn thẳng \(DF\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác \(ABE\) vuông tại \(B\), có:

\(A{E^2} = A{B^2} + B{E^2}\) (định lí Py – ta – go)

\( \Leftrightarrow A{E^2} = {a^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{5{a^2}}}{4}\)

\( \Leftrightarrow AE = \frac{{\sqrt 5 a}}{2}\)

\( \Rightarrow AF = \frac{1}{2}AE = \frac{{\sqrt 5 a}}{4}\)

Ta lại có: \(\sin \widehat {BAE} = \frac{{BE}}{{AE}} \Leftrightarrow \sin \widehat {BAE} = \frac{{\frac{a}{2}}}{{\frac{{\sqrt 5 a}}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\)

\( \Rightarrow {\rm{cos}}\widehat {DAF} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\) (vì \(\widehat {BAE} + \widehat {DAF} = 90^\circ \)).

Xét tam giác \(ADF\), có:

\(D{F^2} = A{D^2} + A{F^2} - 2.AD.AF\cos \widehat {DAF}\) (Áp dụng định lí cosin)

\( \Leftrightarrow D{F^2} = {a^2} + {\left( {\frac{{\sqrt 5 a}}{4}} \right)^2} - 2.a.\frac{{\sqrt 5 a}}{4}.\frac{1}{{\sqrt 5 }} = \frac{{13}}{{16}}a\)

\( \Leftrightarrow DF = \frac{{\sqrt {13} }}{4}a\).