Tìm số tự nhiên \(n\) để

\((4n + 8)\,\, \vdots \,\,(3n + 2)\,\,\,(n \ge 1)\).

Theo đề bài:\((4n + 8)\,\, \vdots \,\,(3n + 2)\) nên \(3\,(4n + 8)\,\, \vdots \,\,(3n + 2)\).

Ta có \(3\,(4n + 8) = 12n + 24 = 4(3n + 2) + 16\).

Để \(3\,(4n + 8)\,\, \vdots \,\,(3n + 2)\) thì \(12n + 24\,\, \vdots \,\,(3n + 2)\) hay \(4(3n + 2) + 16\,\, \vdots \,\,(3n + 2)\).

Mà \(4(3n + 2)\, \vdots \,\,(3n + 2)\) nên \(16\,\, \vdots \,\,(3n + 2)\).

Do đó \((3n + 2) \in \)Ư\[\left( {16} \right) = \left\{ {1;\,\,2;\,\,4;\,\,8;\,\,16} \right\}\].

Vì \(n \ge 1\) nên \(3n + 2 \ge 5\) suy ra \((3n + 2) \in \left\{ {8;\,\,16} \right\}\).

• Với \(3n + 2 = 8\) nên \(3n = 6\) hay \[n = 2\,\,{\rm{(TM)}}\].

• Với \(3n + 2 = 16\) nên \(3n = 14\) hay \[n = \frac{{14}}{3}\] (loại vì \[\frac{{14}}{3} \notin \mathbb{N}\]).

Vậy số tự nhiên \(n\) thỏa mãn yêu cầu bài toán thì \[n = 2\].