Cho tam giác \(ABC\) thỏa mãn \({\sin ^2}A = \sin B.\sin C\). Khẳng định nào dưới đây là đúng?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\), ta được:

\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)

\( \Rightarrow \sin A = \frac{a}{{2R}};\sin B = \,\,\frac{b}{{2R}};\,\,\sin C = \,\,\frac{c}{{2R}}.\)

\( \Rightarrow \frac{{{a^2}}}{{4{R^2}}} = \frac{b}{{2R}}.\frac{c}{{2R}}\)

\( \Leftrightarrow {a^2} = b.c\)

Áp dụng hệ quả của định lí cosin trong tam giác \(ABC\), ta được:

\[{\rm{cos}}A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2.b.c}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - bc}}{{2.b.c}}\]

Áp dụng bất đẳng thức cô – si cho hai số dương \({b^2} + {c^2}\) ta được:

\({b^2} + {c^2} \ge 2bc\)

Khi đó: \[{\rm{cos}}A = \frac{{{b^2} + {c^2} - bc}}{{2.b.c}} \ge \frac{{2bc - bc}}{{2bc}} = \frac{1}{2}\].