II. PHẦN TỰ LUẬN (3 điểm)

(1 điểm)

a) Xác định điều kiện của \(a,b\) để \(A \cap B = \emptyset \) với \(A = \left[ {a - 1;\,\,a + 2} \right]\) và \(B = \left( {b;\,\,b + 4} \right]\).

b) Cho tam giác \(ABC\) có \(G\) là trọng tâm. Gọi \(D\) và \(E\) lần lượt là các điểm thỏa mãn đẳng thức \(\overrightarrow {AD}  = 2\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AE}  = x\overrightarrow {AC} \). Tìm \(x\) để ba điểm \(D,\,\,G,\,\,E\) thẳng hàng. Với giá trị tìm được của \(x\), hãy tính tỉ số \(\frac{{DG}}{{DE}}\).

Hướng dẫn giải

 a) Để \(A \cap B = \emptyset \) ta có hai trường hợp sau:

TH1: \(a + 2 \le b \Leftrightarrow a - b \le  - 2\).

TH2: \(a - 1 > b + 4 \Leftrightarrow a - b > 5\).

Vậy với \(a - b \le  - 2\) hoặc \(a - b > 5\) thì \(A \cap B = \emptyset \).

b) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\)

Xét tam giác ABC, có:

\(\overrightarrow {AG}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM}  = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).

Ta có: \(\overrightarrow {DG}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AG}  = 2\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{5}{3}\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).

\(\overrightarrow {DE}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AE}  = 2\overrightarrow {AB}  - x\overrightarrow {AC} \)

Để \(D,\,\,G,\,\,E\) thẳng hàng thì tồn tại số thực \(k\) thỏa mãn: \(\overrightarrow {DG}  = k\overrightarrow {DE} \)

\( \Leftrightarrow \frac{5}{3}\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}  = k\left( {2\overrightarrow {AB}  - x\overrightarrow {AC} } \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2k = \frac{5}{3}\\kx = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \frac{5}{6}\\x = \frac{2}{5}\end{array} \right.\).

Vậy \(x = \frac{2}{5}\) thì \(D,\,\,G,\,\,E\) thẳng hàng và khi đó \(\frac{{DG}}{{DE}} = k = \frac{5}{6}\).