Nửa mặt phẳng không bị gạch trong hình bên (bao gồm cả đường thẳng \(d\)) là miền nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau?

Đáp án đúng là: B

Hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) vuông góc với nhau nên \(\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 0\).

\( \Leftrightarrow \left( {\frac{2}{5}\overrightarrow a - 3\overrightarrow b } \right) \cdot \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \frac{2}{5}{\overrightarrow a ^2} + \frac{2}{5}\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b - 3\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b - 3{\overrightarrow b ^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{2}{5}{\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - \frac{{13}}{5}\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b - 3{\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = 0\)\( \Leftrightarrow \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = - 1 \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \alpha = - 1\)\( \Leftrightarrow \cos \alpha = - 1\)

Do đó, \(\alpha = 180^\circ \).

Gọi số sản phẩm loại \(A\) cần sản xuất là \(x\); số sản phẩm loại \(B\) cần sản xuất là \(y\)

(\(x,y \ge 0\)).

Số máy nhóm I cần sử dụng là: \(3x + 3y\).

Số máy nhóm II cần sử dụng là: \(2y\).

Số máy nhóm III cần sử dụng là: \(2x + 4y\).

Lãi suất thu được là: \(F(x;y) = 40x + 50y\) (nghìn đồng).    

Bài toán trở thành:

Tìm \(x,y\) thỏa mãn hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{0 \le y \le 2}\\{x + y \le 5}\\{x + 2y \le 6}\end{array}} \right.\) sao cho \(F(x;y) = 40x + 50y\) lớn nhất.

Vẽ các đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = 2,\left( {{d_2}} \right):x + y = 5,\left( {{d_3}} \right):x + 2y = 6\). Ta có miền nghiệm của bất phương trình là miền ngũ giác \(EABCD\) với \(E\left( {0;\,0} \right),\,A\left( {0;\,2} \right)\), \(B\left( {2;\,2} \right)\), \(C\left( {4;\,\,1} \right)\), \(D\left( {5;\,0} \right)\).

Ta có \(F(0;\,\,0) = 0\), \(F(0;\,\,2) = 100\),\(F(2;\,\,2) = 180\),\(F(4;\,\,1) = 210\), \(F(5;\,\,0) = 200\).

Vì\(F(x;y) = 40x + 50y\) đạt giá trị lớn nhất khi \(x = 4;y = 1\) nên phương án sản xuất 4 sản phẩm loại \(A\) và 1 sản phẩm loại \(B\) sẽ có lãi cao nhất.