Cho tam giác \[ABC\] vuông cân tại \(A\) có \(BC = 4a\). Tích vô hướng \(\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB} \) bằng

Gọi \(x,\,y\) lần lượt là số radio kiểu một và kiểu hai sản xuất được trong một ngày. \(\left( {x,\,\,y \ge 0} \right)\)

Vì radio kiểu một sản xuất trên dây chuyền một với công suất 45 radio/ngày, radio kiểu hai sản xuất trên dây chuyền hai với công suất 80 radio/ngày nên \(x \le 45,\,\,y \le 80\).

Sản xuất \(x\) chiếc radio kiểu một và \(y\) chiếc radio kiểu hai cần số linh kiện là \(12x + 9y\).

Mà số linh kiện có thể sử dụng tối đa trong một ngày là 900 nên \(12x + 9y \le 900\) hay tương đương với \(4x + 3y \le 300\).

Tiền lãi thu được khi bán \(x\) chiếc radio kiểu một và \(y\) chiếc radio kiểu hai là \(T = 250\,\,000x + 180\,\,000y\) (đồng).

Khi đó, bài toán đã cho trở thành: Tìm \(\left( {x;\,\,y} \right)\) thỏa mãn hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 45\\0 \le y \le 80\\4x + 3y \le 300\end{array} \right.\)để \(T = 250\,\,000x + 180\,\,000y\) lớn nhất.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 45\\0 \le y \le 80\\4x + 3y \le 300\end{array} \right.\) lên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) ta được:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 45\\0 \le y \le 80\\4x + 3y \le 300\end{array} \right.\) là miền ngũ giác \(OABCD\) (kể cả biên) với \(O\left( {0;\,\,0} \right),\,\,A\left( {0;\,\,80} \right),\,\,B\left( {15;\,\,80} \right),\,\,C\left( {45;\,\,40} \right),\,\,D\left( {45;\,\,0} \right)\).

Người ta chứng minh được \(T = 250\,\,000x + 180\,\,000y\) đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác \(OABCD\).

Ta có: \(T\left( {0;\,\,0} \right) = 0\);

\(T\left( {0;\,\,80} \right) = 250\,\,000 \cdot 0 + 180\,\,000 \cdot 80 = 14\,\,400\,\,000\);

\(T\left( {15;\,\,80} \right) = 250\,\,000 \cdot 15 + 180\,\,000 \cdot 80 = 18\,\,150\,\,000\);

\(T\left( {45;\,\,40} \right) = 250\,\,000 \cdot 45 + 180\,\,000 \cdot 40 = 18\,\,450\,\,000\);

\(T\left( {45;\,\,0} \right) = 250\,\,000 \cdot 45 + 180\,\,000 \cdot 0 = 11\,\,250\,\,000\).

Do đó, \(T = 250\,\,000x + 180\,\,000y\) đạt giá trị lớn nhất tại \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {45;\,\,40} \right)\).

Vậy cần sản xuất 45 radio kiểu một và 40 radio kiểu hai thì lãi thu được trong một ngày là lớn nhất.

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\tan \alpha = \cot \beta \) khi \(\alpha \) và \(\beta \) phụ nhau.