Cho tam giác \[ABC\] vuông cân tại \(A\) có \(BC = 4a\). Tích vô hướng \(\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB} \) bằng
A. \(8{a^2}\);
B. \(a\);
C. \(\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}\);
D. \({a^2}\sqrt 2 \).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: A
Tam giác \[ABC\] vuông cân tại \(A\), suy ra \(AB = AC,\,\,\widehat B = \widehat C = 45^\circ \).
Đặt \(AB = AC = x > 0\). Theo định lí Pythagore, ta có: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\).
Hay \({x^2} + {x^2} = {\left( {4a} \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} = 8{a^2} \Rightarrow x = 2a\sqrt 2 \Rightarrow AC = 2a\sqrt 2 \).
Ta có: \(\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB} \)\( = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CB} } \right| \cdot \cos C = CA \cdot CB \cdot \cos 45^\circ = 2a\sqrt 2 \cdot 4a \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 8{a^2}\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Sách - Sổ tay kiến thức trọng tâm Vật lí 10 VietJack - Sách 2025 theo chương trình mới cho 2k9 ( 31.000₫ )
- Trọng tâm Toán, Văn, Anh 10 cho cả 3 bộ KNTT, CTST, CD VietJack - Sách 2025 ( 13.600₫ )
- Sách lớp 10 - Combo Trọng tâm Toán, Văn, Anh và Lí, Hóa, Sinh cho cả 3 bộ KNTT, CD, CTST VietJack ( 75.000₫ )
- Sách lớp 11 - Trọng tâm Toán, Lý, Hóa, Sử, Địa lớp 11 3 bộ sách KNTT, CTST, CD VietJack ( 52.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Ta có: \[A{B^2} + C{D^2} = B{C^2} + A{D^2}\]
\( \Leftrightarrow A{B^2} + C{D^2} - B{C^2} - A{D^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {A{B^2} - B{C^2}} \right) + \left( {C{D^2} - A{D^2}} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {{{\overrightarrow {AB} }^2} - {{\overrightarrow {BC} }^2}} \right) + \left( {{{\overrightarrow {CD} }^2} - {{\overrightarrow {DA} }^2}} \right) = 0\)
\[ \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {DA} } \right)\left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} } \right) = 0\]
\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} } \right)\overrightarrow {AC} + \left( {\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {DA} } \right)\overrightarrow {CA} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} } \right)\overrightarrow {AC} - \left( {\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {DA} } \right)\overrightarrow {AC} = 0\)
\[ \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} } \right)\overrightarrow {AC} = 0\]
\( \Leftrightarrow \left( {\left( {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AB} } \right) - \left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} } \right)} \right)\overrightarrow {AC} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {DB} - \overrightarrow {BD} } \right)\overrightarrow {AC} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DB} } \right)\overrightarrow {AC} = 0\)
\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {DB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {DB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0\)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {DB} \bot \overrightarrow {AC} \Leftrightarrow AC \bot BD\).
Vậy hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) của tứ giác \(ABCD\) vuông góc với nhau.
Câu 2
A. \(M\) là đỉnh thức tư của hình bình hành \(CABM\);
B. \(M\) là đỉnh thức tư của hình bình hành \(CBAM\);
C. \(M\) trùng \(B\);
D. \(M\) trùng \(C\).
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = - \overrightarrow {MC} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CM} \).
Vì \(A,\,\,B,\,C\) là ba đỉnh của tam giác nên chúng không thẳng hàng.
Do đó, \(M\) là đỉnh thức tư của hình bình hành \(CBAM\).
Câu 3
A. \( - 3\);
B. \(\frac{3}{2}\);
C. \(\frac{{ - 3}}{2}\);
D. 3.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \(45^\circ \);
B. \[135^\circ \];
C. \(50^\circ \);
D. \(90^\circ \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} \);
B. \(\overrightarrow {AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \);
C. \(\overrightarrow {AM} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} \);
D. \(\overrightarrow {AM} = \frac{5}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. chúng có cùng hướng và cùng độ dài;
B. chúng có hướng ngược nhau và cùng độ dài;
C. chúng có cùng độ dài;
D. chúng có cùng phương và cùng độ dài.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \(\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {BO} = \overrightarrow {BC} \);
B. \(\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {BO} \);
C. \(\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BO} \);
D. \(\overrightarrow {AO} - \overrightarrow {BO} = \overrightarrow {DC} \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập