Cho tứ giác \(ABCD\) có \(AB = 4\;\,{\rm{cm,}}\;\,AD = 6\;\,{\rm{cm,}}\;\,BD = 8\;\,{\rm{cm,}}\;\,BC = 12\;\,{\rm{cm,}}\;\,CD = 16\;\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

a) Đúng.

Ta có: \(\frac{{AB}}{{BD}} = \frac{8}{{12}} = \frac{2}{3};\,\,\frac{{AD}}{{BC}} = \frac{{10}}{{15}} = \frac{2}{3};\,\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{12}}{{18}} = \frac{2}{3}\).

Do đó, \(\frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{AD}}{{BC}} = \frac{{BD}}{{DC}}.\)

b) Sai.

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta DBC\), có: \(\frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{AD}}{{BC}} = \frac{{BD}}{{DC}}\).

Do đó, \(\Delta ABD \sim \Delta BDC\) (c.c.c).

c) Đúng.

Vì \(\Delta ABD \sim \Delta BDC\) nên \(\widehat {ABD} = \widehat {BDC}\) (hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(AB\parallel CD.\)

c) Sai.

Vì tứ giác \(ABCD\) có \(AB\parallel CD\) nên \(ABCD\) là hình thang.

Áp dụng định lí Pythagore đảo vào tam giác \(ABD\) có:

\({8^2} + {10^2} = 164 \ne 144\left( { = {{12}^2}} \right)\) hay \({8^2} + {10^2} \ne {12^2}\) nên tam giác \(ABD\) không vuông tại \(A\).

Do đó, \(ABCD\) không là hình thang vuông.

a) Sai.

Ta có: \(\frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{15}}{9} = \frac{5}{3};\,\,\frac{{BC}}{{AD}} = \frac{{20}}{{12}} = \frac{5}{3};\,\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{15}}{{25}} = \frac{3}{5}\).

Do đó, \(\frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{BC}}{{AD}} \ne \frac{{BD}}{{DC}}.\)

b) Đúng.

Ta có: \(\frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{15}}{9} = \frac{5}{3};\,\,\frac{{BC}}{{AD}} = \frac{{20}}{{12}} = \frac{5}{3};\,\frac{{DC}}{{BD}} = \frac{{25}}{{15}} = \frac{5}{3}\) nên \(\frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{BC}}{{AD}} = \frac{{DC}}{{BD}} = \frac{5}{3}\).

Do đó, \(\Delta ABD \sim \Delta BDC\) (c.c.c).

c) Đúng.

Vì \(\Delta ABD \sim \Delta BDC\) nên \(\widehat {ABD} = \widehat {BDC}\) (hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(AB\parallel CD.\)

d) Sai.

Vì \(AB\parallel CD\) nên tứ giác \(ABCD\) là hình thang.

Do đó, hai cạnh bên là \(AD,\,\,BC\).

Mà \(AD \ne BC\) nên \(ABCD\) không là hình thang cân.