Cho tam giác nhọn $ABC\left(AB<AC\right)$. Điểm $M$ thuộc cạnh $BC$ sao cho $\frac{MB}{MC}=\frac{1}{2}$. Qua $M$ kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $AC$ ở $E$. Biết rằng chu vi $\mathrm{\Delta }ABC$ bằng 24 cm.

Tính chu vi \(\Delta EMC\). (Đơn vị: cm)

a) Đúng.

Ta có: \(MN\parallel BC\) nên theo định lí Thalès, ta có: \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}}\).

b) Sai.

Ta có: \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}}\) (cmt) nên \(\Delta ABC \sim \Delta AMN\) (c.c.c).

c) Đúng.

Từ a) ta có: \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}}\) hay \(\frac{{AM}}{4} = \frac{{AN}}{6} = \frac{{MN}}{8} = \frac{{BM}}{6} = \frac{{AM + BM}}{{4 + 6}} = \frac{{AB}}{{10}} = \frac{4}{{10}}\).

Do đó, \(AN = \frac{4}{{10}}AC = \frac{4}{{10}}.6 = 2,4{\rm{ cm}}\).

            \(MN = \frac{4}{{10}}.8 = 3,2{\rm{ cm}}\).

d) Đúng.

Ta có \(\Delta AMN \sim \Delta ABC\) theo tỉ số đồng dạng \(k = \frac{4}{{10}} = \frac{2}{5}\) (từ câu b).

Do đó, \(\frac{{{S_{ANM}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{M{N^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{{2^2}}}{{{5^2}}} = \frac{4}{{25}}\).

Đáp án: 1,5

Ta có \(\frac{{MB}}{{MC}} = \frac{1}{2}\) nên \(\frac{{BC}}{{MC}} = \frac{{BM + MC}}{{MC}} = \frac{{BM}}{{MC}} + \frac{{MC}}{{MC}} = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} = 1,5\).