II. Tự luận (3 điểm)

(1 điểm) Các góc nhìn đến đỉnh núi so với mực nước biển được đo từ hai đèn tín hiệu \(A\) và \(B\) trên biển được thể hiện trên hình vẽ. Nếu các đèn tín hiệu cách nhau 1 536 m thì ngọn núi cao bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Đáp án đúng là: D

\(G\left( {x;\,y + 6} \right)\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{4 + 3 + x - 1}}{3} = x\\\frac{{9 + 7 + y}}{3} = y + 6\end{array} \right.\).

Giải hệ phương trình trên ta được \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - 1\end{array} \right.\).

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\overrightarrow {DN} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AN} = - \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AN} \).

Do \(N\) là trung điểm của \(AE\) nên \(\overrightarrow {AN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AE} \).

Lại có \(E\) là trung điểm của \(BC\) nên với điểm \(A\) ta có: \(\overrightarrow {AE} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\).

Do đó, \(\overrightarrow {AN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AE} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} \).

Lại có: \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \) (do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} \)).

Khi đó ta có: \(\overrightarrow {DN} = - \left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) + \left( {\frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{5}{4}\overrightarrow {AB} - \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} \).

Vậy \(p = \frac{5}{4};\,q = - \frac{3}{4}\).