II. Tự luận (3 điểm)

(1 điểm) Từ vị trí \(A\), người ta quan sát một cây cao (như hình dưới). Biết \(AH = 5\,\,{\rm{m,}}\)\(HB = 25\,{\rm{m}}\), \(\widehat {BAC} = 45^\circ \). Tính chiều cao \(BC\) của cây.

Đáp án đúng là: D

Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\) ta có:

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB \cdot BC \cdot \cos \widehat {ABC} = {1^2} + {2^2} - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ = 3\).

Suy ra \(AC = \sqrt 3 \).

Theo hệ quả của định lí côsin ta có:

\(\cos \widehat {ACB} = \frac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2 \cdot AC \cdot BC}} = \frac{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {2^2} - {1^2}}}{{2 \cdot \sqrt 3 \cdot 2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Ta có: \(\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {CA} = - \overrightarrow {CB} \cdot \overrightarrow {CA} = - \left( {\left| {\overrightarrow {CB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CA} } \right| \cdot \cos \widehat {ACB}} \right) = - \left( {2 \cdot \sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = - 3\).

Đáp án đúng là: C

Theo tính chất giao hoán và quy tắc ba điểm, ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {IA} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {IB} \ne \overrightarrow {BI} \) nên đáp án A sai.

Áp dụng quy tắc hình bình hành đối với hình bình hành \(ABCD\), ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \ne \overrightarrow {BD} \) nên đáp án B sai.

Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \). Ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {DD} = \vec 0\), do đó đáp án C đúng.

Theo quy tắc ba điểm, ta có: \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} \ne \overrightarrow 0 \] nên đáp án D sai.