(1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho các điểm \(A\left( {4;\,1} \right),\,\,B\left( {2;\,\,4} \right),\,C\left( {2;\,\, - 2} \right)\).

a) Chứng minh rằng \(A,\,\,B,\,\,C\) là ba đỉnh của một tam giác.

b) Xác định tọa độ điểm \(D\) sao cho tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.

Đáp án đúng là: D

Ta có: \[\left| {\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CH} } \right| = \left| {2\overrightarrow {CE} } \right| = 2CE\] (với \[E\] là trung điểm của \[AH\]).

Ta lại có: \[AH = \frac{{5\sqrt 3 }}{2}\] (\[\Delta ABC\] đều, \[AH\] là đường cao), suy ra \(HE = \frac{1}{2}AH = \frac{{5\sqrt 3 }}{4}\).

\(CH = \frac{1}{2}BC = \frac{5}{2}\).

Trong tam giác \[HEC\] vuông tại \[H\], từ định lí Pythagore suy ra

\[EC = \sqrt {C{H^2} + H{E^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{5\sqrt 3 }}{4}} \right)}^2}}  = \frac{{5\sqrt 7 }}{4}\]

\[ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {CA}  - \overrightarrow {HC} } \right| = 2CE = \frac{{5\sqrt 7 }}{2}\].

Đáp án đúng là: C

Vì \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\), do đó \(MN\,{\rm{//}}\,BC\).

Hai vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {BC} \) có giá song song với nhau nên chúng cùng phương.