(1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho các điểm \(A\left( {4;\,1} \right),\,\,B\left( {2;\,\,4} \right),\,C\left( {2;\,\, - 2} \right)\).

a) Chứng minh rằng \(A,\,\,B,\,\,C\) là ba đỉnh của một tam giác.

b) Xác định tọa độ điểm \(D\) sao cho tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.

Đáp án đúng là: D

Ta có: \[\left| {\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CH} } \right| = \left| {2\overrightarrow {CE} } \right| = 2CE\] (với \[E\] là trung điểm của \[AH\]).

Ta lại có: \[AH = \frac{{5\sqrt 3 }}{2}\] (\[\Delta ABC\] đều, \[AH\] là đường cao), suy ra \(HE = \frac{1}{2}AH = \frac{{5\sqrt 3 }}{4}\).

\(CH = \frac{1}{2}BC = \frac{5}{2}\).

Trong tam giác \[HEC\] vuông tại \[H\], từ định lí Pythagore suy ra

\[EC = \sqrt {C{H^2} + H{E^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{5\sqrt 3 }}{4}} \right)}^2}}  = \frac{{5\sqrt 7 }}{4}\]

\[ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {CA}  - \overrightarrow {HC} } \right| = 2CE = \frac{{5\sqrt 7 }}{2}\].

Đáp án đúng là: D

Từ bảng số liệu ta thấy giá trị 4 có tần số lớn nhất (9) nên mốt của mẫu số liệu là 4.