(1 điểm) Cho bốn điểm \(A\left( {4;6} \right)\), \(B\left( {2;5} \right)\), \(C\left( {1;4} \right)\) và \(D\left( {{x_0};{y_0}} \right)\). Biết \(ABCD\) là hình bình hành. Tìm tọa độ trung điểm \(M\) của \(AD\).

Ta có:

\(\overrightarrow {MP}  = \overrightarrow {AP}  - \overrightarrow {AM}  = c\overrightarrow {AC}  - a\overrightarrow {AB} \)

\(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AM}  = b\overrightarrow {AL}  - a\overrightarrow {AB} \)

Mà \(\overrightarrow {AL}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\) (do điểm \(L\) là trung điểm của \(BC\)).

Do đó, ta có: \(\overrightarrow {MN}  = \frac{b}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) - a\overrightarrow {AB}  = \left( {\frac{b}{2} - a} \right)\overrightarrow {AB}  + \frac{b}{2}\overrightarrow {AC} \)

Do \(abc \ne 0\) nên \(M\), \(N\), \(P\) thẳng hàng khi và chỉ khi \(\frac{{\frac{b}{2} - a}}{{ - a}} = \frac{{\frac{b}{2}}}{c} \Leftrightarrow 2ac = ab + bc\).

Đáp án đúng là: A

Do các điểm \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC\) nên ta có:

\(2\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB} \); \(2\overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {AC} \).

Vậy \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AC}  =  - \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  =  - 2\overrightarrow {AM}  + 2\overrightarrow {AN} \).