II. PHẦN TỰ LUẬN (3 ĐIỂM)

 (1,0 điểm). Cổng Arch tại thành phố St Louis tại Mỹ có hình dạng là một Parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là \(162m\). Trên thành cổng tại vị trí có độ cao \(43m\) so với mặt đất người ta thả một sợi dây chạm đất. Vị trí chạm đất của đầu sợi dây cách chân cổng \(A\) một đoạn \(10m\). Hãy tính độ cao của cổng Arch (giả sử các số liệu trên là chính xác).

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục như hình vẽ.

Giả sử phương trình Parabol có dạng: \(y = a{x^2} + bx + c\,\left( {a \ne 0} \right)\)

Parabol đi qua điểm \(A\left( {0;0} \right);\,B\left( {162;0} \right);\,M\left( {10;\,43} \right)\) nên ta có:

Tại \(A\left( {0;\,\,0} \right)\), thay \(x = 0\) và \(y = 0\) vao hàm số ta được: \(0 = a{.0^2} + b.0 + c\, \Leftrightarrow c = 0\).

Tại \(B\left( {162;0} \right)\), thay \(x = 162\) và \(y = 0\) vào hàm số ta được: \(0 = a{.162^2} + b.162 + c\,\)

\( \Leftrightarrow 26\,\,244a + 162b + c\, = 0\)

Mà \(c = 0\) nên \(26\,\,244a + 162b = 0\) \(\left( 1 \right)\).

Tại \(M\left( {10;\,43} \right)\), thay \(x = 10\) và \(y = 43\) vào hàm số ta được: \(43 = a{.10^2} + b.10 + c\,\)

\( \Leftrightarrow 100a + 10b + c\, = 43\)

Mà \(c = 0\) nên \(100a + 10b = 43\) \(\left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}26\,\,244a + 162b = 0\\100a + 10b = 43\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{{43}}{{1520}}\\b = \frac{{3483}}{{760}}\end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện).

 Suy ra parabol có dạng: \(y = - \frac{{43}}{{1520}}{x^2} + \frac{{3483}}{{760}}x\).

Tọa độ điểm đỉnh \(S\) là: \({x_S} = - \frac{{\frac{{3483}}{{760}}}}{{2.\left( { - \frac{{43}}{{1520}}} \right)}} = 81\); \({y_S} = - \frac{{43}}{{1520}}{.81^2} + \frac{{3483}}{{760}}.81 \approx 185,6\).

Do đó chiều cao cổng chính là trị tuyệt đối tung độ của đỉnh \(S\) là \(185,6\,\,m\).