(1,0 điểm). Một đoàn gồm \(80\) học sinh của tỉnh \(A\) (gồm lớp \(11\) và lớp \(12\)) tham dự kì thi giỏi toán của tỉnh (thang điểm \(20\)) và điểm trung bình của họ là \(10\). Biết rằng số học sinh lớp \(11\) nhiều hơn \(50\% \) số học sinh lớp \(12\) và điểm trung bình của học sinh khối \(12\)cao hơn điểm trung bình của học sinh khối \(11\) là \(50\% \). Tính điểm trung bình của học sinh khối \(12\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có tam giác\(ABC\) vuông tại \(A\) và có \(AM\) là trung tuyến nên \(AM = \frac{{BC}}{2}\).\(AM = \frac{{BC}}{2} = \frac{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {{a^2} + 3{a^2}} }}{2} = a\).

Tam giác \(AMB\) có \(AB = BM = AM = a\) nên là tam giác đều. Suy ra góc \(\widehat {MAB} = 60^\circ \).

Ta có \[\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {AM} = - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AM} = - \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AM} } \right|.cos{\rm{(}}\overrightarrow {AB} \;,\;\overrightarrow {AM} ) = - a.a.cos{\rm{60}}^\circ = - \frac{{{a^2}}}{2}\].

Hướng dẫn giải

Qua điểm \(I\) dựng các đoạn \(MQ\parallel AB,PS\parallel BC,NR\parallel CA\).

Vì \(ABC\) là tam giác đều nên các tam giác \(IMN,IPQ,IRS\) cũng là tam giác đều.

Suy ra \(D,E,F\) lần lượt là trung điểm của \(MN,PQ,RS\).

Khi đó: \(\overrightarrow {ID} + \overrightarrow {IE} + \overrightarrow {IF} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IN} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {IP} + \overrightarrow {IQ} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {IR} + \overrightarrow {IS} } \right)\)\( = \frac{1}{2}\left[ {\left( {\overrightarrow {IQ} + \overrightarrow {IR} } \right) + \left( {\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IS} } \right) + \left( {\overrightarrow {IN} + \overrightarrow {IP} } \right)} \right] = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right)\)

\( = \frac{1}{2}.3\overrightarrow {IO} = \frac{3}{2}\overrightarrow {IO} \).

Vậy \(\overrightarrow {ID} + \overrightarrow {IE} + \overrightarrow {IF} = \frac{3}{2}\overrightarrow {IO} \).