(1,0 điểm)

a) Cho tứ giác lồi \[ABCD\]. Xác định điểm \[O\] sao cho: \[\overrightarrow {OB} + 4\overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {OD} \].

b) Cho ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {MA} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {MB} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {MC} \) cùng tác động vào một điểm \(M\) và vật đứng yên. Cho biết cường độ của \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \) đều bằng \(25N\) và góc \(\widehat {AMB} = 60^\circ \). Tính cường độ lực của \(\overrightarrow {{F_3}} \).

Hướng dẫn giải

Xét tứ giác \[ABCD\], gọi \[I\] là trung điểm \[BD\], có:

 \[\overrightarrow {OB} + 4\overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {OD} \;\] 

\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {OB} + 4\left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {BC} } \right)\; = 2\left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {BD} } \right)\]

\[ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {BD} - 4\overrightarrow {BC} \]

\[ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {OB} = 2\left( {\overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BC} } \right) - 2\overrightarrow {BC} \]

\[ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {CD} + 2\overrightarrow {CB} \]

\[ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {OB} = 4\overrightarrow {CI} \]

\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {OB} = \frac{4}{3}\overrightarrow {CI} \].
Vậy \[O\] là đỉnh của hình bình hành \[IBON\] với \[\overrightarrow {IN} = \frac{4}{3}\overrightarrow {IC} \].

b)

Gọi \(D\) là điểm thỏa mãn \(MADB\) là hình bình hành

\( \Rightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MD} \)

Tứ giác \(MADB\) là hình bình hành và \(MA = MB\) nên \(MADB\) là hình thoi.

\( \Rightarrow \,\widehat {MAD} = 120^\circ \)

Xét tam giác \(MAB\), có:

\(MD = \sqrt {{{25}^2} + {{25}^2} - 2.25.25.{\rm{cos120}}^\circ } = 25\sqrt 3 \) (định lí cosin)

Vì vật đứng yên nên: \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {{F_3}} = - \left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right) = - \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right) = - \overrightarrow {MD} \).

\(\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| { - \overrightarrow {MD} } \right| = MD = 25\sqrt 3 \).

Vậy cường độ lực của \(\overrightarrow {{F_3}} \) là \(25\sqrt 3 \).