Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(BC = a\sqrt 3 \), \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = \frac{{{a^2}}}{2}\). Độ dài cạnh \(AB\) và \(AC\) là

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có:

\(AM = \frac{1}{2}BC = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Ta có: \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = AM.BC.cos\left( {\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a\sqrt 3 .cos\left( {\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{{a^2}}}{2}\)\( \Leftrightarrow cos\left( {\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{3}\)

Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(ABM\), có:

\(A{B^2} = A{M^2} + B{M^2} - 2.AM.BM.{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {BC} } \right)\)

\( \Leftrightarrow A{B^2} = {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} - 2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{1}{3}\)

\( \Leftrightarrow A{B^2} = {a^2}\)

\( \Leftrightarrow AB = a\)

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác \(ABC\), ta được:

\(A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = 3{a^2} - {a^2} = 2{a^2}\)

\( \Leftrightarrow AC = a\sqrt 2 \)

Vậy \(AB = a\) và \(AC = a\sqrt 2 \).