Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) có \(AD\) và \(BC\) không song song với nhau. Lấy \(I\) thuộc \(SA\) sao cho \(SA = 3IA\), \(J\) thuộc \(SC\) và \(M\)là trung điểm của \(SB\).

(a) Tìm giao tuyến của \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\).

(b) Tìm giao điểm \(E\) của \(AB\) và \(\left( {IJM} \right)\).

a) \(M = \tan 10^\circ \cdot \tan 20^\circ \cdot \tan 30^\circ \cdot \tan 40^\circ \cdot \tan 50^\circ \cdot \tan 60^\circ \cdot \tan 70^\circ \cdot \tan 80^\circ \)

\[M = \left( {\tan 10^\circ \cdot \tan 80^\circ } \right) \cdot \left( {\tan 20^\circ \cdot \tan 70^\circ } \right) \cdot \left( {\tan 30^\circ \cdot \tan 60^\circ } \right) \cdot \left( {\tan 40^\circ \cdot \tan 50^\circ } \right)\]

\[M = \left( {\tan 10^\circ \cdot \cot 10^\circ } \right) \cdot \left( {\tan 20^\circ \cdot \cot 20^\circ } \right) \cdot \left( {\tan 30^\circ \cdot \cot 30^\circ } \right) \cdot \left( {\tan 40^\circ \cdot \cot 40^\circ } \right)\]

\[M = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1\].

b) \(\tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right)\)\( = \tan \left( {\pi + \frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\)\( = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\)\( = \cot \alpha \).

Mà \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên \(\left. \begin{array}{l}\sin \alpha > 0\\\cos \alpha < 0\end{array} \right\} \Rightarrow \cot \alpha < 0\).

Vậy với \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) thì \(\tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right) < 0\).

Tổng các cạnh nằm trên tia \[Ax\] của các hình vuông đó là:

\(S = 10 + 5 + \frac{5}{2} + \frac{5}{{{2^2}}} + ....\)

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với \({u_1} = 10;q = \frac{1}{2}\).

Do đó \(S = \frac{{10}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 20\) (cm).

Vậy trên tia \[Ax\] cần có một đoạn thẳng dài 20 cm.