Cho \(\cos \alpha = \frac{2}{3}\). Tính \(A = \frac{{\tan \alpha + 3\cot \alpha }}{{\tan \alpha + \cot \alpha }}\).

a) Ta có \(S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Trong \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}O \in \left( {SAC} \right)\\O \in \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right).\)

b) Trong \(\left( {SAC} \right)\), gọi \(E\) là giao điểm của \(AN\) và \(SO\)

Trong \(\left( {SBD} \right)\), \(ME\)cắt \(SD\) tại \(K\) mà \(ME \in (A{\rm{MN}})\)

\( \Rightarrow K\) là giao điểm của \(\left( {AMN} \right)\) với \(SD\).

Xét tam giác \(SAC\) có \(SO\) và \(AN\) là các trung tuyến và \(SO \cap AN = E\)

Nên \(E\) là trọng tâm tam giác \(SAC\). Do đó \(SE = 2EO \Rightarrow \frac{{SE}}{{EO}} = 2\).

Mặt khác \(MS = 2MB \Rightarrow \frac{{MS}}{{MB}} = 2\).

Do \(\frac{{SE}}{{EO}} = \frac{{MS}}{{MB}} = 2\) \( \Rightarrow ME{\rm{//}}BO\) hay \(MK{\rm{//}}BD\) mà \(BD \subset \left( {ABCD} \right)\).

Suy ra \(MK{\rm{//}}\left( {ABCD} \right)\).

Kí hiệu \({A_n},{B_n}\) lần lượt là số tiền công (đơn vị đồng) cần trả theo cách tính giá của cơ sở A và cơ sở B.

Theo giả thiết ta có:

+ \({A_n}\) là tổng \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng với số hạng đầu \({u_1} = 50\;000\) và công sai \(d = 10\;000\).

+ \({B_n}\) là tổng \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu \({v_1} = 50\;000\)và công bội \(q = 1,08\).

Do đó:

\[{A_{20}} = \frac{{20\left( {2{u_1} + 19d} \right)}}{2} = 10\left( {2.50\;000 + 19.10\;000} \right) = 2\;900\;000.\]

\[{B_{20}} = {v_1}\frac{{1 - {q^{20}}}}{{1 - q}} = 50\;000 \times \frac{{1 - {{\left( {1,08} \right)}^{20}}}}{{1 - 1,08}} \approx 2\;288\;000.\]

\[{A_{40}} = \frac{{40\left( {2{u_1} + 39d} \right)}}{2} = 20\left( {2.50\;000 + 39.10\;000} \right) = 9\;800\;000.\]

\[{B_{40}} = {v_1}\frac{{1 - {q^{40}}}}{{1 - q}} = 50\;000 \times \frac{{1 - {{\left( {1,08} \right)}^{40}}}}{{1 - 1,08}} \approx 12\;953\;000.\]

Suy ra, chọn cơ sở B khoan giếng 20 mét và cơ sở A để khoan giếng 40 mét.