Cho tam giác đều \[ABC\] cạnh bằng 5 và \(H\) là trung điểm của \(BC\). Khi đó, tích vô hướng \(\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {CA} \) bằng

Ta có \(3{x^2} - 2\left( {m + 5} \right)x - {m^2} + 2m + 8 = 0 \Leftrightarrow x = m + 2\) hoặc \(x = \frac{{4 - m}}{3}\).

* Với  $m+2>\frac{4-m}{3}\iff 3m+6>4-m\iff m>-\frac{1}{2}$ ta có

Bất phương trình (1)\( \Leftrightarrow \frac{{4 - m}}{3} \le x \le m + 2\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là \(\left[ {\frac{{4 - m}}{3};m + 2} \right]\)

Suy ra mọi \[x \in \left[ { - 1;1} \right]\] đều là nghiệm của bất phương trình (1)

khi và chỉ khi \[\left[ { - 1;1} \right] \subset \left[ {\frac{{4 - m}}{3};m + 2} \right] \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1 \ge \frac{{4 - m}}{3}}\\{1 \le m + 2}\end{array}} \right.\]\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ge 7}\\{m \ge - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m \ge 7\).

Kết hợp với điều kiện \(m > - \frac{1}{2}\) ta có \(m \ge 7\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

* Với \(m + 2 < \frac{{4 - m}}{3} \Leftrightarrow m < - \frac{1}{2}\) ta có

Bất phương trình (1)\( \Leftrightarrow m + 2 \le x \le \frac{{4 - m}}{3}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là \(\left[ {m + 2;\frac{{4 - m}}{3}} \right]\)

Suy ra mọi \[x \in \left[ { - 1;1} \right]\] đều là nghiệm của bất phương trình (1)

khi và chỉ khi \[\left[ { - 1;1} \right] \subset \left[ {m + 2;\frac{{4 - m}}{3}} \right] \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1 \ge m + 2}\\{1 \le \frac{{4 - m}}{3}}\end{array}} \right.\]\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \le - 3}\\{m \le 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m \le - 3\).

Kết hợp với điều kiện \(m < - \frac{1}{2}\) ta có \(m \le - 3\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

* Với \(m = - \frac{1}{2}\) ta có bất phương trình (1)\( \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\) nên \(m = - \frac{1}{2}\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy \(m \in ( - \infty ; - 3] \cup {\rm{[}}7; + \infty )\) là giá trị cần tìm.

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} + 2\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} } \right) + 3\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AC} } \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 6\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {AB} + 3\overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).