Bố mẹ bạn X mang tiền gửi ngân hàng theo thể thức lãi kép (lãi nhập gốc vào kì gửi tiếp theo). Số tiền ban đầu là A, lãi suất là r/kì. Bố mẹ nhờ X giải thích, đưa ra công thức về số tiền nhận được (giả sử toàn bộ quá trình lãi suất không đổi).

a) Sau 1 kì; sau 2 kì; sau 3 kì; sau 4 kì và dự đoán công thức sau n kì.

b) Nếu cứ sau mỗi kì, bố mẹ bạn X lại mang thêm đúng số tiền A ra ngân hàng để gửi thêm thì kết thúc kì thứ 12 toàn bộ số tiền nhận về được tính theo công thức nào?

Lời giải

a) Sau 1 kì số tiền nhận được là: \({T_1} = A + A \cdot r\).

Sau 2 kì số tiền nhận được là \({T_2} = A + A \cdot r + \left( {A + A \cdot r} \right) \cdot r\)\( = \left( {A + A \cdot r} \right) \cdot \left( {1 + r} \right) = A \cdot {\left( {1 + r} \right)^2}\).

Sau 3 kì số tiền nhận được là \({T_3} = A \cdot {\left( {1 + r} \right)^2} + A \cdot {\left( {1 + r} \right)^2} \cdot r = A{\left( {1 + r} \right)^3}\).

Sau 4 kì số tiền nhận được là \({T_4} = A{\left( {1 + r} \right)^3} + A{\left( {1 + r} \right)^3} \cdot r = A{\left( {1 + r} \right)^4}\).

Sau n kì số tiền nhận được là \({T_n} = A{\left( {1 + r} \right)^n}\).

b) Số tiền bố mẹ bạn X nhận được sau 1 kì là \({T_1} = A + A \cdot r = A\left( {1 + r} \right) = \frac{A}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^1} - 1} \right]\left( {1 + r} \right)\).

Số tiền bố mẹ bạn X gửi ở kì 2 là \({S_2} = A\left( {1 + r} \right) + A = A\left[ {\left( {1 + r} \right) + 1} \right] = A\frac{{\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^2} - 1} \right]}}{{\left( {1 + r} \right) - 1}} = \frac{A}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^2} - 1} \right]\).

Số tiền bố mẹ bạn X nhận được sau kì 2 là \({T_2} = \frac{A}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^2} - 1} \right]\left( {1 + r} \right)\).

Suy ra số tiền bố mẹ bạn X nhận được sau kì 12 là \({T_{12}} = \frac{A}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^{12}} - 1} \right]\left( {1 + r} \right)\).