(0,5 điểm) Một người mua một món hàng phải trả tổng cộng 825 000 đồng, kể cả thuế giá trị gia tăng (VAT) với mức 10%. Nếu như thuế VAT được giảm còn 8% thì người đó cần phải trả tổng cộng bao nhiêu tiền?

a) Xét \(\Delta AIM\) và \(\Delta BIC\) có:

\[IA = IB\] (do \[I\] là trung điểm của \[AB\]);

\(\widehat {AIM} = \widehat {BIC}\) (hai góc đối đỉnh);

\[IM = IC\] (giả thiết).

Do đó \(\Delta AIM = \Delta BIC\) (c.g.c)

b) Xét \(\Delta ANE\) và \(\Delta CBE\) có:

\[EA = EC\] (do \[E\] là trung điểm của \[AC\]);

\(\widehat {AEN} = \widehat {CEB}\) (hai góc đối đỉnh);

\[EN = EB\] (giả thiết).

Do đó \[\Delta ANE = \Delta CBE\] (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {NAE} = \widehat {BCE}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {NAE},\,\,\,\widehat {BCE}\) là hai góc ở vị trí so le trong nên \[AN{\rm{ // }}BC\].

c) Do \(\Delta AIM = \Delta BIC\) (câu a)

Suy ra \(\widehat {MAI} = \widehat {CBI}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {MAI},\,\,\widehat {CBI}\) là hai góc ở vị trí so le trong nên \[AM{\rm{ // }}BC\].

Mặt khác \[AN{\rm{ // }}BC\] (theo câu b)

Do đó qua điểm \[A\] có hai đường thẳng song song với \[BC\] nên theo tiên đề Euclid, hai đường thẳng \[AM\] và \[AN\] trùng nhau hay ba điểm \[A,{\rm{ }}M,{\rm{ }}N\] thẳng hàng.

Lại có \[\Delta ANE = \Delta CBE\] (theo câu b) nên \[AN = CB\] (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác \[AM = BC\] (do \(\Delta AIM = \Delta BIC\))

Do đó\[AM = AN\](cùng bằng \[BC\])

Ba điểm \[A,{\rm{ }}M,{\rm{ }}N\] thẳng hàng và \[AM = AN\] nên \[A\] là trung điểm của \[MN\].

Ta có \(M = \frac{{2023 - x}}{{2022 - x}} = \frac{{\left( {2022 - x} \right) + 1}}{{2022 - x}} = 1 + \frac{1}{{2022 - x}}\)

• Nếu \(\frac{1}{{2022 - x}} < 0\) thì \(M = 1 + \frac{1}{{2022 - x}} < 1\)

• Nếu \(\frac{1}{{2022 - x}} > 0\):

Để \(M = 1 + \frac{1}{{2022 - x}}\) đạt giá trị lớn nhất thì \(\frac{1}{{2022 - x}}\) đạt giá trị dương lớn nhất

Điều này có nghĩa với \(x \in \mathbb{Z}\) thì \(2022 - x\) là số nguyên dương nhỏ nhất

Tức là, \(2022 - x = 1\)

Do đó \(x = 2021\).

Khi đó \(M = 1 + \frac{1}{1} = 2\).

Vậy kết hợp 2 trường hợp, biểu thức \(M\) đạt giá trị lớn nhất bằng 2 khi \(x = 2021\).