Hình hộp chữ nhật, hình lập phương, hình lăng trụ đứng tam giác và hình lăng trụ đứng tứ giác có chung đặc điểm nào dưới đây?        

a) Học sinh vẽ lại hình theo đúng số đo các góc.

b) Ta có \[\widehat {xAC} + \widehat {BAC} = 180^\circ \] (hai góc kề bù)

               \[\widehat {xAC} = 180^\circ - \widehat {BAC} = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \]

Tia \(Ay\) là tia phân giác của \[\widehat {CAx}\] nên \(\widehat {xAy} = \widehat {CAy} = \frac{1}{2}\widehat {xAC} = 40^\circ \).

b) Ta có \[\widehat {CAy} = \widehat {ACB}\] (cùng bằng \[40^\circ \])

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(Ay\,{\rm{//}}\,BC\).

Do \(Ay\,{\rm{//}}\,BC\) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {xAy} = 40^\circ \) (hai góc đồng vị).

Từ dãy tỉ số bằng nhau \(\frac{x}{{y + z + t}} = \frac{y}{{z + t + x}} = \frac{z}{{t + x + y}} = \frac{t}{{x + y + z}}\) ta có:

\(\frac{x}{{y + z + t}} + 1 = \frac{y}{{z + t + x}} + 1 = \frac{z}{{t + x + y}} + 1 = \frac{t}{{x + y + z}} + 1\)

Suy ra \(\frac{{x + y + z + t}}{{y + z + t}} = \frac{{y + z + t + x}}{{z + t + x}} = \frac{{z + t + x + y}}{{t + x + y}} = \frac{{t + x + y + z}}{{x + y + z}}\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

Trường hợp 1:

Nếu \(x + y + z + t = 0\) thì \(x + y = - z - t\); \(y + z = - t - x\); \(z + t = - x - y\); \(t + x = - y - z\).

Khi đó \[P = \frac{{x + y}}{{z + t}} + \frac{{y + z}}{{t + x}} + \frac{{z + t}}{{x + y}} + \frac{{t + x}}{{y + z}}\]

               \[ = \frac{{ - z - t}}{{z + t}} + \frac{{ - t - x}}{{t + x}} + \frac{{ - x - y}}{{x + y}} + \frac{{ - y - z}}{{y + z}}\]

               \( = \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) = - 4 \in \mathbb{Z}\).

Trường hợp 2:

Nếu \(x + y + z + t \ne 0\) thì từ \(\left( * \right)\) ta suy ra \(y + z + t = z + t + x = t + x + y = x + y + z\)

Do đó \(x = y = z = t\).

Khi đó \[P = \frac{{x + y}}{{z + t}} + \frac{{y + z}}{{t + x}} + \frac{{z + t}}{{x + y}} + \frac{{t + x}}{{y + z}}\]

                \( = \frac{{x + x}}{{x + x}} + \frac{{x + x}}{{x + x}} + \frac{{x + x}}{{x + x}} + \frac{{x + x}}{{x + x}} = 4 \in \mathbb{Z}\)

Vậy \[P = \frac{{x + y}}{{z + t}} + \frac{{y + z}}{{t + x}} + \frac{{z + t}}{{x + y}} + \frac{{t + x}}{{y + z}}\] có giá trị nguyên.