Giải các bất phương trình sau:

a) \(3x - 8 > 4x - 12.\)                                        

b) \[\frac{{2x + 1}}{3} - \frac{{x - 4}}{4} \le \frac{{3x + 1}}{6} - \frac{{x - 4}}{{12}}.\]

Gọi \(x\) (gam) và \(y\) (gam) lần lượt là khối lượng dung dịch muối ăn với nồng độ \(5\% \) và \(20\% \) cần dùng \(\left( {0 < x < 1\,\,000,\,\,0 < y < 1\,\,000} \right)\).

Theo bài, cần pha trộn hai dung dịch trên để được \(1\,\,000\) g dung dịch muối ăn mới nên ta có phương trình \(x + y = 1\,\,000\).  (1)

Khối lượng muối ăn trong \(x\) (gam) dung dịch muối ăn \(5\% \) là \(5\%  \cdot x = 0,05x\) (gam).

Khối lượng muối ăn trong \(y\) (gam) dung dịch muối ăn \(20\% \) là \(20\%  \cdot x = 0,2x\) (gam).

Khối lượng muối ăn trong \(1\,\,000\) gam dung dịch muối ăn \(14\% \) là \(1\,\,000 \cdot 14\%  = 140\) (gam).

Khi đó, ta có phương trình: \(0,05x + 0,2y = 140\). (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\,\,000\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\0,05x + 0,2y = 140\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình (2) với 5, ta được hệ mới là \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\,\,000\\0,25x + y = 700\end{array} \right.\)

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

\(0,75x = 300,\) suy ra \(x = 400\) (thỏa mãn).

Thay \(x = 400\) vào phương trình (1), ta được: \(400 + y = 1\,\,000\) suy ra \(y = 600\) (thỏa mãn).

Vậy cần trộn \(400\) gam dung dịch muối ăn \(5\% \) với \(600\) gam dung dịch muối ăn \(20\% \) để được \(1\,\,000\) gam dung dịch muối ăn \(14\% .\)

Ta mô hình hóa bài toán như hình vẽ sau:

Do mặt đất là phương ngang nên \[\widehat {BCA} = \widehat {CBx} = 30^\circ \] và \[\widehat {BDA} = \widehat {ABx} - \widehat {DBx} = 90^\circ  - 30^\circ  = 60^\circ \].

Xét \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\], ta có:

\[AC = AB \cdot \cot \widehat {BCA} = AB \cdot \cot 30^\circ  = AB\sqrt 3 \].

Xét \[\Delta ABD\] vuông tại \[A\], ta có:

\[AD = AB \cdot \cot \widehat {BDA} = AB \cdot \cot 60^\circ  = \frac{{AB\sqrt 3 }}{3}\].

Suy ra \[CD = AC - AD = AB\sqrt 3  - \frac{{AB\sqrt 3 }}{3} = AB\left( {\sqrt 3  - \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right) = AB \cdot \frac{{2\sqrt 3 }}{3} = \frac{{2AB\sqrt 3 }}{3} = 2AD\].

Như vậy, quãng đường \(CD\) gấp đôi quãng đường \(DA.\) Mà thời gian di chuyển tỉ lệ thuận với quãng đường đi được khi vận tốc không đổi nên thời gian xe máy di chuyển từ \(C\) đến \(D\) gấp đôi thời gian xe máy di chuyển từ \(D\) về \(A\).

Vậy thời gian để xe máy chạy từ \[D\] đến tòa nhà là \[\frac{6}{2} = 3\] (phút).