Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức (Tự luận) có đáp án - Đề 2

a) \[\left( {2x + 9} \right)\left( {\frac{2}{3}x - 5} \right) = 0\]

\(2x + 9 = 0\) hoặc \[\frac{2}{3}x - 5 = 0\]

\(2x =  - 9\) hoặc \(\frac{2}{3}x = 5\)

\(x =  - \frac{9}{2}\) hoặc \(x = \frac{{15}}{2}\).

a) \(3x - 8 > 4x - 12\)

 \(3x - 4x >  - 12 + 8\)

 \( - x >  - 4\)

   \(x < 4\).

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \(x < 4.\)

a) Với \(m \ne 0,\) ta viết phương trình \(x + my = n\) về dạng \(y =  - \frac{1}{m}x + \frac{n}{m}\).

Do đó đồ thị hàm số \(y =  - \frac{1}{m}x + \frac{n}{m}\) biểu diễn tất cả các nghiệm của phương trình bậc nhất một ẩn \(x + my = n\).

Nghiệm tổng quát của phương trình \(x + my = n\) là \(\left( {x;\,\, - \frac{1}{m}x + \frac{n}{m}} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\) tùy ý và \(m \ne 0.\)

b) Để hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( { - 1;1} \right)\) thì \(x =  - 1,\,\,y = 1\) thỏa mãn hệ phương trình đó.

Thay \(x =  - 1,\,\,y = 1\) vào hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}mx - ny = 1\\x + my = n\end{array} \right.\) ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}m \cdot \left( { - 1} \right) - n \cdot 1 = 1\\\left( { - 1} \right) + m \cdot 1 = n\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l} - m - n = 1\\m - n = 1.\end{array} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được:

\( - 2n = 2\) suy ra \(n =  - 1.\)

Thay \(n =  - 1\) vào phương trình \(m - n = 1,\) ta được:

\(m - \left( { - 1} \right) = 1,\) suy ra \(m = 0\) (không thỏa mãn \(m \ne 0).\)

Vậy không có cặp số \(\left( {m;\,\,n} \right)\) nào thỏa mãn.

Gọi \(x\) (gam) và \(y\) (gam) lần lượt là khối lượng dung dịch muối ăn với nồng độ \(5\% \) và \(20\% \) cần dùng \(\left( {0 < x < 1\,\,000,\,\,0 < y < 1\,\,000} \right)\).

Theo bài, cần pha trộn hai dung dịch trên để được \(1\,\,000\) g dung dịch muối ăn mới nên ta có phương trình \(x + y = 1\,\,000\).  (1)

Khối lượng muối ăn trong \(x\) (gam) dung dịch muối ăn \(5\% \) là \(5\%  \cdot x = 0,05x\) (gam).

Khối lượng muối ăn trong \(y\) (gam) dung dịch muối ăn \(20\% \) là \(20\%  \cdot x = 0,2x\) (gam).

Khối lượng muối ăn trong \(1\,\,000\) gam dung dịch muối ăn \(14\% \) là \(1\,\,000 \cdot 14\%  = 140\) (gam).

Khi đó, ta có phương trình: \(0,05x + 0,2y = 140\). (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\,\,000\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\0,05x + 0,2y = 140\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình (2) với 5, ta được hệ mới là \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\,\,000\\0,25x + y = 700\end{array} \right.\)

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

\(0,75x = 300,\) suy ra \(x = 400\) (thỏa mãn).

Thay \(x = 400\) vào phương trình (1), ta được: \(400 + y = 1\,\,000\) suy ra \(y = 600\) (thỏa mãn).

Vậy cần trộn \(400\) gam dung dịch muối ăn \(5\% \) với \(600\) gam dung dịch muối ăn \(20\% \) để được \(1\,\,000\) gam dung dịch muối ăn \(14\% .\)

a) Số câu trả lời sai là: \(10 - x\) (câu).

Số điểm người đó có được khi trả lời đúng \(x\) (câu) là: \(5x\) (điểm).

Số điểm người đó bị trừ khi trả lời sai \(10 - x\) (câu) là: \(10 - x\) (điểm).

Như vậy, số điểm của người đó sau khi trả lời hết 10 câu hỏi là: \(10 + 5x - \left( {10 - x} \right)\) (điểm).

Theo bài, để được dự thi vòng tiếp theo thì người đó cần có tổng số điểm từ 40 điểm trở lên nên ta có bất phương trình:

\(10 + 5x - \left( {10 - x} \right) \ge 40.\)

Vậy bất phương trình cần tìm là: \(10 + 5x - \left( {10 - x} \right) \ge 40.\)

b) Giải bất phương trình:

\(10 + 5x - \left( {10 - x} \right) \ge 40\)

\(10 + 5x - 10 + x \ge 40\)

\(6x \ge 40\)

\(x \ge \frac{{40}}{6}\,\,\left( { \approx 6,666...} \right)\).

Vì \(x\) là số nguyên nên \(x \ge 7.\)

Vậy người dự thi cần phải trả lời chính xác ít nhất 7 câu hỏi thì mới được dự thi ở vòng sau.

Ta mô hình hóa bài toán như hình vẽ sau:

Do mặt đất là phương ngang nên \[\widehat {BCA} = \widehat {CBx} = 30^\circ \] và \[\widehat {BDA} = \widehat {ABx} - \widehat {DBx} = 90^\circ  - 30^\circ  = 60^\circ \].

Xét \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\], ta có:

\[AC = AB \cdot \cot \widehat {BCA} = AB \cdot \cot 30^\circ  = AB\sqrt 3 \].

Xét \[\Delta ABD\] vuông tại \[A\], ta có:

\[AD = AB \cdot \cot \widehat {BDA} = AB \cdot \cot 60^\circ  = \frac{{AB\sqrt 3 }}{3}\].

Suy ra \[CD = AC - AD = AB\sqrt 3  - \frac{{AB\sqrt 3 }}{3} = AB\left( {\sqrt 3  - \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right) = AB \cdot \frac{{2\sqrt 3 }}{3} = \frac{{2AB\sqrt 3 }}{3} = 2AD\].

Như vậy, quãng đường \(CD\) gấp đôi quãng đường \(DA.\) Mà thời gian di chuyển tỉ lệ thuận với quãng đường đi được khi vận tốc không đổi nên thời gian xe máy di chuyển từ \(C\) đến \(D\) gấp đôi thời gian xe máy di chuyển từ \(D\) về \(A\).

Vậy thời gian để xe máy chạy từ \[D\] đến tòa nhà là \[\frac{6}{2} = 3\] (phút).