Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}mx - ny = 1\\x + my = n\end{array} \right.\) với \(m \ne 0.\)

a) Tất cả các nghiệm của phương trình \(x + my = n\) được biểu diễn bởi đồ thị của hàm số nào? Viết nghiệm tổng quát của phương trình đó.

b) Xác định cặp số \(\left( {m;\,\,n} \right)\) để hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( { - 1;1} \right).\)

Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:

Có hai lọ dung dịch muối ăn với nồng độ lần lượt là \(5\% \) và \(20\% \). Người ta pha trộn hai dung dịch trên để được \(1\,\,000\) g dung dịch muối ăn có nồng độ \(14\% \). Hỏi phải dùng bao nhiêu mỗi loại dung dịch muối ăn với nồng độ \(5\% \) và \(20\% ?\)

Giải các bất phương trình sau:

a) \(3x - 8 > 4x - 12.\)

b) \[\frac{{2x + 1}}{3} - \frac{{x - 4}}{4} \le \frac{{3x + 1}}{6} - \frac{{x - 4}}{{12}}.\]

Một người đang ở trên tầng thượng của một tòa nhà quan sát con đường chạy thẳng đến chân tòa nhà. Anh ta nhìn thấy một người điều khiển chiếc xe máy đi về phía tòa nhà với phương nhìn tạo với phương nằm ngang một góc bằng \[30^\circ \]. Sau \[6\] phút, người quan sát vẫn nhìn thấy người điều khiển chiếc xe máy với phương nhìn tạo với phương nằm ngang một góc bằng \[60^\circ \]. Hỏi sau bao nhiêu phút nữa thì xe máy sẽ chạy đến chân tòa nhà? Cho biết vận tốc xe máy không đổi.

Cho hình vuông \(ABCD\) có diện tích không đổi và điểm M thay đổi trên đường chéo \(AC,\) gọi \(E,F\) lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ \(M\) lên các cạnh \(AB,BC\) của hình vuông \(ABCD.\) Tìm vị trí của điểm \(M\) để giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác \[DEF\].

Trong một cuộc thi đố vui, ban tổ chức quy định mỗi người dự thi phải trả lời \(10\) câu hỏi ở vòng sơ tuyển. Mỗi câu hỏi này có sẵn \(4\) đáp án, nhưng trong đó chỉ có \(1\) đáp án đúng. Người dự thi chọn đáp án đúng sẽ được \(5\) điểm, chọn đáp án sai sẽ bị trừ \(1\) điểm. Ở vòng sơ tuyển Ban tổ chức tặng cho mỗi người thi \(10\) điểm và quy định người nào có tổng số điểm từ \(40\) trở lên mới được dự thi vòng tiếp theo.

a) Gọi \(x\) là số câu trả lời đúng \(\left( {0 \le x \le 10,\,\,x \in \mathbb{N}} \right).\) Viết bất phương trình phù hợp với dữ liệu đã cho.

b) Hỏi người dự thi phải trả lời chính xác bao nhiêu câu hỏi ở vòng sơ tuyển thì mới được dự thi ở vòng sau?

Cho tam giác \(ABC\) có hai đường cao \(AD\) và \(BE\) cắt nhau tại \(H\) thỏa mãn \(\frac{{HD}}{{HA}} = \frac{1}{2}.\)

a) Viết các tỉ số lượng giác của \(\widehat {ABE}.\)

b) Biết \(AH = BD = 2{\rm{\;cm}}\), tính số đo góc \(B\) và độ dài cạnh \(AB,\) độ dài đường cao \(BE\) (làm tròn đến phút đối với số đo góc và làm tròn đến hàng phần mười đối với cm).

c) Chứng minh rằng \(\tan B \cdot \tan C = 3\).

Giải các phương trình sau:

a) \[\left( {2x + 9} \right)\left( {\frac{2}{3}x - 5} \right) = 0\].

b) \(\frac{{x + 3}}{{x - 3}} = \frac{3}{{{x^2} - 3x}} + \frac{1}{x}.\)