Cho hình vuông \(ABCD\) có diện tích không đổi và điểm M thay đổi trên đường chéo \(AC,\) gọi \(E,F\) lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ \(M\) lên các cạnh \(AB,BC\) của hình vuông \(ABCD.\) Tìm vị trí của điểm \(M\) để giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác \[DEF\].
Cho hình vuông \(ABCD\) có diện tích không đổi và điểm M thay đổi trên đường chéo \(AC,\) gọi \(E,F\) lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ \(M\) lên các cạnh \(AB,BC\) của hình vuông \(ABCD.\) Tìm vị trí của điểm \(M\) để giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác \[DEF\].
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có: \({S_{DEF}} = {S_{DEM}} + {S_{DMF}} + {S_{MEF}};\) \({S_{AEFC}} = {S_{AEM}} + {S_{MFC}} + {S_{MEF}};\)
\({S_{DEM}} = {S_{AEM}}\left( { = \frac{1}{2}AE \cdot EM} \right);\) \({S_{DMF}} = {S_{MFC}}\left( { = \frac{1}{2}FC \cdot FM} \right).\)
Suy ra \({S_{DEF}} = {S_{AEFC}} = {S_{ABC}} - {S_{BEF}} = \frac{1}{2}{S_{ABCD}} - \frac{1}{2}BE \cdot BF\)
Thật vậy, xét hiệu \({\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} - ab = \frac{{{a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab}}{4} = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{4} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}\)
Với mọi \(a,\,\,b\) là các số không âm, ta có:
\({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\) nên \(\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2} \ge 0\) suy ra \({\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} \ge ab\).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b.\) Như vậy bất đẳng thức \(\left( * \right)\) đã được chứng minh.
⦁ Áp dụng bất đẳng thức \(\left( * \right)\) vào tích \(BE \cdot BF,\) ta được: \[BE \cdot BF \le {\left( {\frac{{BE + BF}}{2}} \right)^2}.\]
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(BE = BF.\)
Ta có tứ giác \[BEMF\] là hình chữ nhật (do \(\widehat B = \widehat E = \widehat F = 90^\circ )\) nên \(ME = BF.\)
Xét \(\Delta AME\) vuông tại \(E\) có \(\widehat {EAM} = 45^\circ \) (do \(AC\) là đường chéo của hình vuông \(ABCD\) nên \(AC\) là tia phân giác của góc \(\widehat {BAD})\) nên \(\Delta AME\) vuông cân tại \(E\).
Suy ra \(AE = ME.\) Như vậy \(BF = AE.\)
Ta có: \(BE \cdot BF \le {\left( {\frac{{BE + BF}}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{{BE + EA}}{2}} \right)^2} = \frac{{A{B^2}}}{4} = \frac{1}{4}{S_{ABCD}}\)
Suy ra \({S_{DEF}} \ge \frac{1}{2}{S_{ABCD}} - \frac{1}{8}{S_{ABCD}} = \frac{3}{8}{S_{ABCD}}.\) (đơn vị diện tích).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(BE = BF = AE\) hay \(E\) là trung điểm của \(AB,\) lúc này từ tính chất đường trung bình ta suy ra được điểm \(M\) phải là trung điểm của \(AC\).
Vậy nếu \(M\) là trung điểm của \(AC\) thì tam giác \(DEF\) có diện tích nhỏ nhất.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Gọi \(x\) (gam) và \(y\) (gam) lần lượt là khối lượng dung dịch muối ăn với nồng độ \(5\% \) và \(20\% \) cần dùng \(\left( {0 < x < 1\,\,000,\,\,0 < y < 1\,\,000} \right)\).
Theo bài, cần pha trộn hai dung dịch trên để được \(1\,\,000\) g dung dịch muối ăn mới nên ta có phương trình \(x + y = 1\,\,000\). (1)
Khối lượng muối ăn trong \(x\) (gam) dung dịch muối ăn \(5\% \) là \(5\% \cdot x = 0,05x\) (gam).
Khối lượng muối ăn trong \(y\) (gam) dung dịch muối ăn \(20\% \) là \(20\% \cdot x = 0,2x\) (gam).
Khối lượng muối ăn trong \(1\,\,000\) gam dung dịch muối ăn \(14\% \) là \(1\,\,000 \cdot 14\% = 140\) (gam).
Khi đó, ta có phương trình: \(0,05x + 0,2y = 140\). (2)
Từ phương trình (1) và phương trình (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\,\,000\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\0,05x + 0,2y = 140\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình (2) với 5, ta được hệ mới là \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\,\,000\\0,25x + y = 700\end{array} \right.\)
Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:
\(0,75x = 300,\) suy ra \(x = 400\) (thỏa mãn).
Thay \(x = 400\) vào phương trình (1), ta được: \(400 + y = 1\,\,000\) suy ra \(y = 600\) (thỏa mãn).
Vậy cần trộn \(400\) gam dung dịch muối ăn \(5\% \) với \(600\) gam dung dịch muối ăn \(20\% \) để được \(1\,\,000\) gam dung dịch muối ăn \(14\% .\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) \(3x - 8 > 4x - 12\)
\(3x - 4x > - 12 + 8\)
\( - x > - 4\)
\(x < 4\).
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \(x < 4.\)
b) \[\frac{{2x + 1}}{3} - \frac{{x - 4}}{4} \le \frac{{3x + 1}}{6} - \frac{{x - 4}}{{12}}\]
\[\frac{{4\left( {2x + 1} \right)}}{{12}} - \frac{{3\left( {x - 4} \right)}}{{12}} \le \frac{{2\left( {3x + 1} \right)}}{{12}} - \frac{{x - 4}}{{12}}\]
\[4\left( {2x + 1} \right) - 3\left( {x - 4} \right) \le 2\left( {3x + 1} \right) - \left( {x - 4} \right)\]
\[8x + 4 - 3x + 12 \le 6x + 2 - x + 4\]
\[5x + 16 \le 5x + 6\]
\[5x - 5x \le 6 - 16\]
\[0x \le - 10\].
Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập