Một công ty du lịch thông báo giá tiền cho chuyến đi tham quan của một nhóm khách du lịch như sau: 50 khách đầu tiên có giá là 3 000 000 đồng/người. Nếu có nhiều hơn 50 người đăng kí thì cứ có thêm 1 người, giá chuyến du lịch sẽ giảm 50 000 đồng/người cho toàn bộ hành khách. Để đạt doanh thu cao nhất thì công ty cần đón đoàn khách (nhiều hơn 50 khách) bao nhiêu người?

Gọi \(x\) là số lượng khách thứ 51 trở lên, \(x > 0,\,\,x \in \mathbb{N}.\)

Cứ thêm một người thì giá chuyến du lịch còn lại là: \[300\,\,0000 - 50\,\,000 \cdot 1\] đồng/ người cho toàn bộ hành khách.

Thêm \(x\) người thì giá chuyến du lịch còn lại là: \[300\,\,0000 - 50\,\,000x\] đồng/người cho toàn bộ hành khách.

Doanh thu công ty du lịch thu được là:

\(T = \left( {50 + x} \right)\left( {3\,\,000\,\,000 - 50\,\,000x} \right) = 50\,\,000\left( {50 + x} \right)\left( {60 - x} \right)\) (đồng).

Để doanh thu cao nhất thì ta tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(T.\)

⦁ Chứng minh bất đẳng thức: \(ab \le {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}\,\,\,\,\left( * \right)\) với \(a,\,\,b\) là các số không âm.

Thật vậy, xét hiệu \({\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} - ab = \frac{{{a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab}}{4} = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{4} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}\)

Với mọi \(a,\,\,b\) là các số không âm, ta có:

\({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\) nên \(\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2} \ge 0\) suy ra \({\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} \ge ab\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b.\) Như vậy bất đẳng thức \(\left( * \right)\) đã được chứng minh.

⦁ Áp dụng bất đẳng thức \(\left( * \right)\) vào biểu thức \(T = 50\,\,000\left( {50 + x} \right)\left( {60 - x} \right),\) ta được:

\[T = 50\,\,000\left( {50 + x} \right)\left( {60 - x} \right) \le 50\,\,000 \cdot {\left( {\frac{{50 + x + 60 - x}}{2}} \right)^2} = 151\,\,250\,\,000\].

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[50 + x = 60 - x\] hay \[x = 5\].

Vậy nếu đoàn khách có \(50 + 5 = 55\) người thì công ty du lịch đạt doanh thu cao nhất là \[151\,\,250\,\,000\] đồng.