(1,5 điểm) Giải các phương trình lượng giác:

 a) \(\cos \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)                                        

b) \(\sin x = \cos 3x\).

a) (1,0 điểm) Chứng minh \[MN//\left( {ABCD} \right).\]

Ta có \[MN\] là đường trung bình tam giác \[SAC\].

Suy ra \[MN//AC\].

Do đó: \[\left\{ \begin{array}{l}MN//AC\\MN \not\subset \left( {ABCD} \right);AC \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow MN//\left( {ABCD} \right).\]

   b) (1,0 điểm) Xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng \[\left( {BMN} \right)\]và \[\left( {ABCD} \right).\]

Ta có B là điểm chung của 2 mặt phẳng \[\left( {BMN} \right)\]và \[\left( {ABCD} \right).\]

Lại có: \[\left\{ \begin{array}{l}MN//AC\\AC \subset \left( {ABCD} \right);MN \subset (BMN).\end{array} \right. \Rightarrow (BMN) \cap \left( {ABCD} \right) = Bx,Bx\,//MN//AC.\]

     c) (1,0 điểm) Gọi \[P\] là trung điểm \[BO\]. Xác định giao điểm \(Q\) của cạnh \(SD\) và mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\). Tính tỷ số \(\frac{{SQ}}{{SD}}\).

Gọi \[I\] là giao điểm của \[MN\] và \[SO\].

\(Q\) là giao điểm của \[PI\] và \[SD\].

Ta có \[Q \in PI,PI \subset (MNP) \Rightarrow Q \in (MNP).\]

Mà \[Q \in SD\]. Suy ra \(Q\) là giao điểm của \(SD\) và mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\).

Vì \[I\]là trung điểm \[SO\] nên \[PI\] là đường trung bình tam giác \[SBO\]. Suy ra \[PI//SB\] hay \[PQ//SB\].

Xét tam giác SBD có: \(\frac{{SQ}}{{SD}} = \frac{{BP}}{{BD}} \Rightarrow \frac{{SQ}}{{SD}} = \frac{1}{4}\).

Ta có \[ - a + b \le h(t) = a\sin (\frac{{2\pi }}{{15}}t - \frac{\pi }{2}) + b \le a + b,\forall t\].

Theo bài ra: \[\left\{ \begin{array}{l}a + b = 114,5\\ - a + b = 0,5\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 57\\b = 57,5\end{array} \right.\]

Suy ra \[h(t) = 57\sin (\frac{{2\pi }}{{15}}t - \frac{\pi }{2}) + 57,5\]

Do đó \[h(t) = 57\sin (\frac{{2\pi }}{{15}}t - \frac{\pi }{2}) + 57,5 = 86\]

\[ \Leftrightarrow \sin (\frac{{2\pi }}{{15}}t - \frac{\pi }{2}) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{2\pi }}{{15}}t - \frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\\frac{{2\pi }}{{15}}t - \frac{\pi }{2} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 5 + 15k\\t = 10 + 15k\end{array} \right.(k \in \mathbb{Z}).\]

Vậy trong vòng quay đầu tiên cabin \(M\) đạt được chiều cao \(86\) m tại thời điểm \(t = 5\) phút hoặc \(t = 10\) phút.